【Derivation】采样定理证明
2016-12-01 15:42
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时域采样定理
对连续信号进行等间隔采样形成采样信号,采样信号的频谱是原连续信 号的频谱以采样频率为周期进行周期延拓形成的。
设连续信号的最高频为fmax,如果采样频率fs≥2fmax,那么采样信号可以唯一恢复出原连续信号;否则会出现频谱混叠,信号无法完全恢复。
设计原理图
时域采样与频域分析
对一连续信号f(t)进行理想采样可以表示为
fs(t)=f(t)s(t)=∑n=−∞+∞f(nT)δ(t−nT)
其中fs(t)为f(t)的理想采样,s(t)为周期脉冲信号,即
s(t)=∑n=−∞+∞δ(t−nT)
由频域卷积定理,fs(t)的傅立叶变换为
Fs(jw)=1T∑n=−∞+∞F[j(w−nΩ)]
其中Ω=2πT,F(jw)为f(t)的傅立叶变换。
上式表明,Fs(jw)为F(jw)的周期延拓。只有满足采样定理时,才不会发生频谱混叠混叠
在实际计算中,常采用如下等价的公式进行计算
Fs(jw)=∑n=−∞+∞F(nT)e−jnΩt
信号复原
这里信号恢复是指由fs(t)经过函数内插,恢复原始信号f(t)的过程,
具体而言即
f(t)=f(t)∗s(t)//求卷积
其中插值函数
h(t)=TwcπSa(wct)
其中wc为低通滤波器的截止频率。将fs(t)和h(t)代入恢复公式,即得
f(t)=f(t)∗s(t)=h(t)=∑n=−∞+∞f(nT)δ(t−nT)TwcπSa(wct)=Twcπ∑n=−∞+∞f(nT)Sa(wct(t−nT))
上式即信号恢复的基本公式。
内插公式表明模拟信号f(t)等于各采样点数值乘以对应内插函数的总和,只要采样频率高于信号频率的两倍,模拟信号就可以用它的采样值表示,而不丢失任何信息。
对连续信号进行等间隔采样形成采样信号,采样信号的频谱是原连续信 号的频谱以采样频率为周期进行周期延拓形成的。
设连续信号的最高频为fmax,如果采样频率fs≥2fmax,那么采样信号可以唯一恢复出原连续信号;否则会出现频谱混叠,信号无法完全恢复。
设计原理图
时域采样与频域分析
对一连续信号f(t)进行理想采样可以表示为
fs(t)=f(t)s(t)=∑n=−∞+∞f(nT)δ(t−nT)
其中fs(t)为f(t)的理想采样,s(t)为周期脉冲信号,即
s(t)=∑n=−∞+∞δ(t−nT)
由频域卷积定理,fs(t)的傅立叶变换为
Fs(jw)=1T∑n=−∞+∞F[j(w−nΩ)]
其中Ω=2πT,F(jw)为f(t)的傅立叶变换。
上式表明,Fs(jw)为F(jw)的周期延拓。只有满足采样定理时,才不会发生频谱混叠混叠
在实际计算中,常采用如下等价的公式进行计算
Fs(jw)=∑n=−∞+∞F(nT)e−jnΩt
信号复原
这里信号恢复是指由fs(t)经过函数内插,恢复原始信号f(t)的过程,
具体而言即
f(t)=f(t)∗s(t)//求卷积
其中插值函数
h(t)=TwcπSa(wct)
其中wc为低通滤波器的截止频率。将fs(t)和h(t)代入恢复公式,即得
f(t)=f(t)∗s(t)=h(t)=∑n=−∞+∞f(nT)δ(t−nT)TwcπSa(wct)=Twcπ∑n=−∞+∞f(nT)Sa(wct(t−nT))
上式即信号恢复的基本公式。
内插公式表明模拟信号f(t)等于各采样点数值乘以对应内插函数的总和,只要采样频率高于信号频率的两倍,模拟信号就可以用它的采样值表示,而不丢失任何信息。
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