HPU 1046: QAQ的数学问题 【贝祖定理】

1046: QAQ的数学问题 [数学]

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题目描述

QAQ很喜欢数学，尤其对LCMLCM（最小公倍数）很感兴趣。
对于数对(6,10)(6,10)，可以得出LCM(6,10)=30LCM(6,10)=30。为了让LCMLCM的值最小化，他尝试把66和1010全部加上22，这样得到LCM(8,12)=24<30LCM(8,12)=24<30。
经过无数次的尝试，QAQ发现总是可以通过上面相加的方式（必须加的是非负整数）让LCMLCM的值达到最小的，但是他忘记至少需要加多少了，所以你来请帮帮他吧。

输入

第一行输入一个整数TT，代表有TT组测试数据。
每组数据输入两个整数A,BA,B，分别代表上面提到信息。

注：1<=T<=2000，1<=A，B<=20000000001<=T<=2000，1<=A，B<=2000000000。

输出

对每组数据，输出一个结果，代表QAQ至少需要加的数。

样例输入

3
6 10
4 10
3 10

样例输出

2
2
4

来源

CZY

题解：

因为A和B的差始终是不变的，那么考虑差对结果的影响。
发现不管怎么变，GCD(A,B)就是abs(A−B)的一个因子。
我们预处理因子，然后枚举因子维护最优解即可。
时间复杂度O(T∗log(abs(A−B)))。

AC代码：
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

int f[10111];

LL GCD(LL a,LL b) {
return !b?a:GCD(b,a%b);
}
LL LCM(LL a,LL b) {
return a/GCD(a,b)*b;
}

int main() {
LL T; scanf("%lld",&T);
while(T--) {
LL a,b; scanf("%lld%lld",&a,&b);
if(a<b) swap(a,b);
LL m=a-b,i,cnt=0;
for( i=1;i*i<m;++i) {
if(m%i==0) {
f[cnt++]=i; f[cnt++]=m/i;
}
}
if(m%i==0) f[cnt++]=i;
LL ans=LCM(a,b),x=0;
for(i=0;i<cnt;++i) {
LL j=f[i]-b%f[i];//求b对于f[i]的逆 不要用while去找 会T
LL tem=(a+j)/f[i]*(b+j);
if(tem<ans) {
ans=tem; x=j;
}
}
printf("%lld\n",x);
}
return 0;
}