作业-NP完全问题证明-8.23

题目：

在节点互不相交的路径（NODE-DISJOINT PATH）问题中，输入是一个无向图。该图的一些节点具有特殊标记：节点s1,s2,…,sk 被标记为“出发点”，另一些相同数量的节点t1,t2,…,tk 被标记为“目的地”。目标是对所有的i=1,2,…,k，求由si 到ti 的k条互不相交的路径（即不包含相同节点的路径）。请证明该问题是NP完全的。

证明：

首先从 3SAT 问题开始归约。

对于包含 m 个子句和 n 个变量的 3SAT 公式，使用 k = m + n 个出发点和目的地。

每个变量 v对应于一个节点对(sv,tv) ，每个子句 c 对应于一个节点对(sc,tc) 。

对每个 3SAT 子句(v1∨v2∨v3) ，引入6个中间节点：v1,v2,v3,v¯1,v¯2,v¯3

对任意子句c=(v1∨v2∨v3) ，将sc,vi 连接起来，将 vi,tc 连接起来，i=1,2,3 。

对任意变量v, 假设共引入有d个中间节点v ，d个中间节点v¯ ，将sv,v,v,…,v (共d个节点v), tv 依次连接起来，将sv,v¯,v¯,…,v¯ (共d个节点v¯), tv 依次连接起来，这样就形成了2条路径，2条路径只能选其中1条，保证了变量一致。

如图，未画出sc到tc 的连接：



容易看到，如果该 3SAT 问题有解，那么经过这样的转化后，就构造出了该图对应的k条节点不相交的路径。反之，如果该 3SAT 问题无解，那么转化后，该图也不存在对应的k条节点不相交的路径。

这样就将3SAT 归约到了 NODE-DISJOINT PATH， 3SAT为NP完全问题，所以NODE-DISJOINT PATH 为NP完全问题。

证毕。