证明碰撞集（HITTING SET）问题是NP完全问题

问题描述：

给定一组集合{S1,S2,S3,…,Sn}和预算b，求一个集合H，其中H和所有Si相交且H的规模不超过b。求证该问题是NP完全问题

证明：

（1）先证该问题是一个NP问题。

假设给出集合H的所有元素，显然可以在多项式时间内验证该集合H是否满足条件要求（和Si逐一比较是否有交集并检查规模是否超过b），所以该问题是个NP问题

（2）再证该问题是一个NP难问题。

已知图的最小顶点覆盖问题（Vertex Cover）是NP难问题（在算法概论书中已有证明），只要能找到一种把最小顶点覆盖问题规约到碰撞集问题的方法，即可以证明碰撞集问题是NP难问题。

规约方式如下：

假设有一个图G(V,E)，则把该图的每一条边对应一个集合Si，边上的两个点即该集合的元素，即每个集合有两个元素，如S1={v1,v2}，这样一来，就能构造出|E|个集合。求图G的最小顶点覆盖问题，可以转化成求这|E|个集合的碰撞集，最小顶点覆盖的顶点就是H的元素，最小顶点覆盖数即为b。

所以碰撞集是一个NP问题且是一个NP难问题，即碰撞集为一个NP完全问题