高数函数的连续性与间断点

    这几天做的真题中涉及到的函数的连续性和间断点的题也不少，而且正确率不高，下面总结一下这部分知识。

    【知识点】

    一、连续性

     所谓连续，顾名思义，下面有两种定义方法：

     （1）

        


      该定义主要是用于证明题，考查逻辑推理问题。

     （2）设函数f(x)在点X0的某一领域内有定义，且有x->时，f(x)的极限等于f(X0)，则称函数f(x)在点X0处是连续的。

        


     这个定义用的最多，最广泛。根据这个定义我们可以知道，如果给出一个函数是，在某一点处有定义，则可以推出改点的极限等于函数在改点的值。

    二、间断点

     1、定义

       


     判读函数间断点（不连续）有三种情形：

       


     2、常见类型

      间断点的常见类型有：无穷间断点、振荡间断点、可去间断点和跳跃间断点

        1）、无穷间断点：函数在x0处没有定义，并且左右极限都不存在。

             


                                                                                                     

                                   


        2）、振荡间断点：函数在x0处没有定义，并且在x->x0时，函数值变动无限次，我们就称x0为函数的振荡间断点。

      

  

                              


       3）、可去间断点：函数在x0处没有定义，存在左右极限，且左右极限相等，我们就称x0为函数的可去间断点。

        


       4）、跳跃间断点：函数在x0处有定义，存在左右极限，但左右极限不相等，因函数在x0处产生跳跃现象，我们就称x0为函数的跳跃间断点。

             


                           


    3、分类

      通常把间断点分成两类：

      第一类间断点：某点是函数的间断点，该点的左右极限都存在，则称改点是函数的第一类间断点。如果左右极限相等称为“可去间断点”，不相等称为“跳跃间断点”。

      第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，也可以说左右极限至少有一个不存在的点，“无穷间断点”和“振荡间断点”就是第二类。

                     


          

    【小结】

     函数的连续性和间断点的判断需要借助函数的极限，所有的知识都是有联系的，如果想求出一道数学题，可能需要联系很多个知识点 ，还是多多做题，积累做题技巧吧！