★★★蓄水池抽样——《编程珠玑》读书笔记

http://blog.csdn.net/huagong_adu/article/details/7619665 

问题：如何随机从n个对象中选择一个对象，这n个对象是按序排列的，但是在此之前你是不知道n的值的。

        思路：如果我们知道n的值，那么问题就可以简单的用一个大随机数rand()%n得到一个确切的随机位置，那么该位置的对象就是所求的对象，选中的概率是1/n。

        但现在我们并不知道n的值，这个问题便抽象为蓄水池抽样问题，即从一个包含n个对象的列表S中随机选取k个对象，n为一个非常大或者不知道的值。通常情况下，n是一个非常大的值，大到无法一次性把所有列表S中的对象都放到内存中。我们这个问题是蓄水池抽样问题的一个特例，即k=1。

        解法：我们总是选择第一个对象，以1/2的概率选择第二个，以1/3的概率选择第三个，以此类推，以1/m的概率选择第m个对象。当该过程结束时，每一个对象具有相同的选中概率，即1/n，证明如下。

        证明：第m个对象最终被选中的概率P=选择m的概率*其后面所有对象不被选择的概率，即



        对应的该问题的伪代码如下：

[cpp] view
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i = 0  

while more input items  

        with probability 1.0 / ++i  

                choice = this input item  

print choice  

        C++代码实现如下：

[cpp] view
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#include <iostream>  

#include <cstdlib>  

#include <ctime>  

#include <vector>  

  

using namespace std;  

  

typedef vector<int> IntVec;  

typedef typename IntVec::iterator Iter;  

typedef typename IntVec::const_iterator Const_Iter;  

  

// generate a random number between i and k,  

// both i and k are inclusive.  

int randint(int i, int k)  

{  

    if (i > k)  

    {  

        int t = i; i = k; k = t; // swap  

    }  

    int ret = i + rand() % (k - i + 1);  

    return ret;  

}  

  

// take 1 sample to result from input of unknown n items.  

bool reservoir_sampling(const IntVec &input, int &result)  

{  

    srand(time(NULL));  

    if (input.size() <= 0)  

        return false;  

  

    Const_Iter iter = input.begin();  

    result = *iter++;  

    for (int i = 1; iter != input.end(); ++iter, ++i)  

    {  

        int j = randint(0, i);  

        if (j < 1)  

            result = *iter;   

    }  

    return true;  

}  

  

int main()  

{  

    const int n = 10;  

    IntVec input(n);  

    int result = 0;  

  

    for (int i = 0; i != n; ++i)  

        input[i] = i;  

    if (reservoir_sampling(input, result))  

        cout << result << endl;  

    return 0;  

}  

        对应蓄水池抽样问题，可以类似的思路解决。先把读到的前k个对象放入“水库”，对于第k+1个对象开始，以k/(k+1)的概率选择该对象，以k/(k+2)的概率选择第k+2个对象，以此类推，以k/m的概率选择第m个对象（m>k）。如果m被选中，则随机替换水库中的一个对象。最终每个对象被选中的概率均为k/n，证明如下。

        证明：第m个对象被选中的概率=选择m的概率*（其后元素不被选择的概率+其后元素被选择的概率*不替换第m个对象的概率），即



        蓄水池抽样问题的伪代码如下：

[cpp] view
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array S
;    //source, 0-based  

array R[k];    // result, 0-based  

integer i, j;  

  

// fill the reservoir array  

for each i in 0 to k - 1 do  

        R[i] = S[i]  

done;  

  

// replace elements with gradually decreasing probability  

for each i in k to n do  

        j = random(0, i);   // important: inclusive range  

        if j < k then  

                R[j] = S[i]  

        fi  

done  

        C++代码实现如下，该版本假设n知道，但n非常大：

[cpp] view
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#include <iostream>  

#include <cstdlib>  

#include <ctime>  

  

using namespace std;  

  

// generate a random number between i and k,  

// both i and k are inclusive.  

int randint(int i, int k)  

{  

    if (i > k)  

    {  

        int t = i; i = k; k = t; // swap  

    }  

    int ret = i + rand() % (k - i + 1);  

    return ret;  

}  

  

// take m samples to result from input of n items.  

bool reservoir_sampling(const int *input, int n, int *result, int m)  

{  

    srand(time(NULL));  

    if (n < m || input == NULL || result == NULL)  

        return false;  

    for (int i = 0; i != m; ++i)  

        result[i] = input[i];  

  

    for (int i = m; i != n; ++i)  

    {  

        int j = randint(0, i);  

        if (j < m)  

            result[j] = input[i];     

    }  

    return true;  

}  

  

int main()  

{  

    const int n = 100;  

    const int m = 10;  

    int input
;  

    int result[m];  

  

    for (int i = 0; i != n; ++i)  

        input[i] = i;  

    if (reservoir_sampling(input, n, result, m))  

        for (int i = 0; i != m; ++i)  

            cout << result[i] << " ";  

    cout << endl;  

    return 0;  

}  

        下面这个程序假设不知道n的大小

[cpp] view
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#include <iostream>  

#include <cstdlib>  

#include <ctime>  

#include <vector>  

  

using namespace std;  

  

typedef vector<int> IntVec;  

typedef typename IntVec::iterator Iter;  

typedef typename IntVec::const_iterator Const_Iter;  

  

// generate a random number between i and k,  

// both i and k are inclusive.  

int randint(int i, int k)  

{  

    if (i > k)  

    {  

        int t = i; i = k; k = t; // swap  

    }  

    int ret = i + rand() % (k - i + 1);  

    return ret;  

}  

  

// take m samples to result from input of n items.  

bool reservoir_sampling(const IntVec &input, IntVec &result, int m)  

{  

    srand(time(NULL));  

    if (input.size() < m)  

        return false;  

  

    result.resize(m);  

    Const_Iter iter = input.begin();  

    for (int i = 0; i != m; ++i)  

        result[i] = *iter++;  

  

    for (int i = m; iter != input.end(); ++i, ++iter)  

    {  

        int j = randint(0, i);  

        if (j < m)  

            result[j] = *iter;  

    }  

    return true;  

}  

  

int main()  

{  

    const int n = 100;  

    const int m = 10;  

    IntVec input(n), result(m);  

  

    for (int i = 0; i != n; ++i)  

        input[i] = i;  

    if (reservoir_sampling(input, result, m))  

        for (int i = 0; i != m; ++i)  

            cout << result[i] << " ";  

    cout << endl;  

    return 0;  

}  

        本文参考：

http://www.cnblogs.com/HappyAngel/archive/2011/02/07/1949762.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Reservoir_sampling

http://en.wikipedia.org/wiki/Fisher-Yates_shuffle