向量叉积与向量点积

1. 向量叉积与向量点积的区别

注：向量积 ≠向量的积（向量的积一般指点乘）

一定要清晰地区分开向量积（矢积）与数量积（标积）。见下表。
向量积（矢积）与数量积（标积）的区别

　　

名称	标积 / 内积 / 数量积 / 点积/dot product	矢积 / 外积 / 向量积 / 叉积/ cross product
运算式（a，b和c粗体字，表示向量）	a·b=|a||b|·cosθ	a×b=c,其中|c|=|a||b|·sinθ,c的方向遵守右手定则
几何意义	向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积	c的模是垂直a、b所在平面，且以|b|·sinθ为高、|a|为底的平行四边形的面积
运算结果的区别	标量（常用于物理）/数量（常用于数学）	矢量（常用于物理）/向量（常用于数学）

2. 向量叉积定义

模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）



方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）





也可以这样定义（等效）：

向量积|c|=|a×b|=|a| |b|sin<a,b>

即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。

而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。

*运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。

坐标运算

设
 

 
=(
 

 
)，
 

 
=(
 

 
)。i，j，k分别是X，Y，Z轴方向的单位向量，则：

a×b=(
 

 
-
 

 
)i+(
 

 
-
 

 
)j+(
 

 
-
 

 
)k,为了帮助记忆，利用三阶行列式，写成det
 




b×a= -a×b右手规则 

3. 向量点积的定义

在数学中，数量积（dot product; scalar product，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为：

a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为：

a·b=a^T*b，这里的a^T指示矩阵a的转置。

代数定义

设二维空间内有两个向量
 

 
和
 

 
，定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：



更一般地，n维向量的内积定义如下:

几何定义

设二维空间内有两个向量
 

 
和
 

 
，它们的夹角为
 

 
，则内积定义为以下实数：



该定义只对二维和三维空间有效。