多元函数极值、Hessian矩阵、正定矩阵

这篇笔记，来自我对支持向量机（SVM）算法原理的学习。支持向量机算法最终归结为二次规划问题，研究二次规划问题，必须先从一般的最优化问题开始分析。如无特别声明，本文最优化问题特指寻求目标函数最小值。

一元函数最优化问题，可以简单归结为极值点必须满足下面两个条件：

dfdx=0(1)

d2fdx2>0(2)

条件推广：一阶导数为零

二元函数情形，很容易得到第一个条件(1)式的推广形式：

∂f∂x=0,∂f∂y=0(3)

条件推广：二阶导数为正

我们可以认为，沿任意方向 (dx1,dx2)=(cosαdt,sinαdt)，都有

d2fdt2>0(4)

下面我们推导一下，看看有什么结果，

dfdt=∂f∂x1dx1dt+∂f∂x2dx2dt=∂f∂x1cosα+∂f∂x2sinα(5)

d2fdt2=...=∂2f∂x21cos2α+∂2f∂x1∂x2cosαsinα+∂2f∂x2∂x1cosαsinα+∂2f∂x22sin2α(6)

对于所有的 α ,要求上式恒大于零，那么函数的这四个二阶偏导应该满足什么条件呢？

Hessian矩阵

令 d=(cosα,sinα)，则有，

dT⎛⎝⎜⎜⎜⎜∂2f∂x21∂2f∂x2∂x1∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22⎞⎠⎟⎟⎟⎟d>0(7)

其中，矩阵

H(f)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜∂2f∂x21∂2f∂x2∂x1∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22⎞⎠⎟⎟⎟⎟(8)

称为 Hessian 矩阵，如果函数f(x)二阶导数连续，则该矩阵实对称矩阵。我们看到，二元函数取得极小值的另一个条件的推广形式是，函数的 Hessian 矩阵是正定矩阵。其实，这个结论很容易推广到 n 原函数。

由前面讨论可知，(7)式表示函数在方向 d 的二阶导数，这算是 Hessian 矩阵的几何意义吧。

多元函数极值的判定

如果实值多元函数 f(x) 二阶连续可导，并且在临界点 x¯ 处梯度（一阶导数）等于0，即 ∇f(x¯)=0 ， 为驻点。仅通过一阶导数无法判断在临界点 处是极大值还是极小值。

记 f(x) 在 x¯ 点处的 Hessian 矩阵为 H(x¯) 。由于 f(x) 在 x¯ 点处连续，所以 H(x¯) 是一个 n×n 的对称矩阵。对于 H(x¯) ，有如下结论：

如果 H(x¯) 是正定矩阵，则临界点 x¯ 处是一个局部的极小值。

如果 H(x¯) 是负定矩阵，则临界点 x¯ 处是一个局部的极大值。

如果 H(x¯) 是不定矩阵，则临界点 x¯ 处不是极值。

正定矩阵的判定

接下来的问题就是如何判断一个矩阵是否为正定矩阵了，这方面参考资料很多，本文不再赘述。