[BZOJ]1096: [ZJOI2007]仓库建设 斜率优化DP

Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内

陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象

部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于

地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库

的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设

置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，

假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到

以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用

Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3

0 5 10

5 3 100

9 6 10

Sample Output

32

首先推出简单的DP方程：

f[i]=min(f[j]+x[i]*(s[i-1]-s[j])-ch[i-1]+ch[j])+c[i];（ch和s的具体含义见代码）

然后我们就开始往斜率优化的方向想。

假设j1<j2<i，并且j2、j1对于当前的i来说，j2更优（不差于j1）

f[j2]-x[i]*s[j2]+ch[j2]<=f[j1]-x[i]*s[j1]+ch[j1]

然后证明对于i以后的t，也是如此

设x[t]=x[i]+v

f[j2]-(x[i]+v)*s[j2]+ch[j2]<=f[j1]-(x[i]+v)*s[j1]+ch[j1]

f[j2]-x[i]*s[j2]-v*s[j2]+ch[j2]<=f[j1]-x[i]*s[j1]-v*s[j1]+ch[j1]

因为  f[j2]-x[i]*s[j2]+ch[j2]<=f[j1]-x[i]*s
10272
[j1]+ch[j1]

又因为 -v*s[j2]<=-v*s[j1] （显而易见s[j2]>s[j1]）

所以得证

接下来推斜率方程

f[j2]-x[i]*s[j2]+ch[j2]<=f[j1]-x[i]*s[j1]+ch[j1]

((f[j2]+ch[j2])-(f[j1]+ch[j1]))/(s[j2]-s[j1])<=x[i]

这样这道题目就搞定了。

这道题目是我人生中第一次独立推斜率方程，代码也因为一点问题，会有一点bug（FYC神奇方法）。

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int Q=1000005;
long long x[Q],p[Q],c[Q];
long long s[Q],ch[Q];
long long f[Q],q[Q];
long long mymin(int u1,int u2)
{
if (u1<u2) return u1;
return u2;
}
double Y(int j) {return 1.0*(f[j]+ch[j]);}
double X(int j) {return 1.0*s[j];}
double slop(int j1,int j2) {return (Y(j1)-Y(j2))/(X(j1)-X(j2));}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
//j~i 的人全部到i -> p[j]*(x[i]-x[j])+p[j+1]*(x[i]-x[j+1])+```+p[i-1]*(x[i]-x[i-1])
//     x[i]*(p[j]+p[j+1]+```p[i-1]) -xj*pj-x[j+1]*p[j+1]-```-x[i-1]*p[i-1]
s[0]=ch[0]=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&p[i],&c[i]);
s[i]+=s[i-1]+p[i];
ch[i]+=ch[i-1]+x[i]*p[i];
}
int l=1,r=1;q[1]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(l<r && slop(q[l],q[l+1])<=x[i]) l++;
int j=q[l];
f[i]=f[j]+x[i]*(s[i-1]-s[j])-ch[i-1]+ch[j]+c[i];
while(l<r && slop(q[r-1],q[r])>slop(q[r],i)) r--;
q[++r]=i;
}
printf("%lld",f
);
}