【考研数学】泰勒公式
2016-11-27 15:34
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前言
最近被考研虐成狗了,这里面最让小编潸然泪下的就属高数了。有人说数学是用世界上最美最简洁的语言描述最本质的规律,是美,不但美还抽象。(怪我不会欣赏~)下面就说说很腻害的泰勒吧。心累历程
狗 - sin狗 = 1/6 * 狗^3 ; cosX = 1- x^2/2! + x^4/4! + O(x^4);
对比sinX和cosX,它们都是正负相间,sinX的分母是奇数的阶乘,cosX的分母是偶数的阶乘,分母是几的阶乘分子就是x的几次方;sinX/cosX=x^n/n!
arcsin狗 - 狗 = x^3/6 + O(x^3);
arcA和A除了符号不一样,其余的都一样;如果A是正负相间的,那arcA就是全正的,如果A是全正的,那arcA就是正负相间的。
tan狗 - 狗 = 狗^3/3 ; 狗 - arctan狗 = 狗^3/3;
tan 家族分母是奇数但不是奇数的阶乘,tan 是全正,arctan是正负相间,这是tan家族和sin家族的区别。
ln(1+x)= x - x^2/2 + x^3/3 + O(x^3); e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + O(x^3);
指对数家族是按照非负整数 0 1 2 3 这样排的。ln 分母是1 2 3 , 正负相间;e^x 分母是1 2 3 的阶乘,全正;可以这样记:指数上升快所以都是正号,但是和ln 本是同根生为什么e^x就这么吊可以累加,所以为了公平起见就让e^x的分母大点变成阶乘。(好,皆大欢喜~~)
(1+x)^a = 1 + ax + a(a - 1)x^2/2! + O(x^2);
幂指数比较奇葩,分母还是非负整数,全正,但是分子有了一些变化。分子第一项就乘以a, 第二项就乘以a(a-1);
ps: 这几个公式中涉及到分母从0开始的有cos(分母为偶数),ln,e^x,(1+x)^a,后三个分母都是连续的非负整数;这4个中除了ln,其余三个都有1,为什么呢?且听小编慢慢编来。因为lnX在x = 0 处没定义,而cosX, e^x, (1+x)^a 在x = 0 时都等于1。(是不是貌似挺有道理的)
小结
泰勒公式是求极限化简,求积分的神器。不管什么妖魔鬼怪到泰勒这里都能给化成幂函数的形式,不得不佩服泰勒,这么难的公式,理解都费劲,他是怎么推出来的。不看世界不知道自己的渺小,不学高数。。。相关文章推荐
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