NP完全问题的归约-碰撞集(HITTING SET)

原题：

在碰撞集(HITTING SET)问题中，给定一组集合{S1, S2, S3, …, Sn}和预算b，我们希望求一个与所有Si相交且规模不超过b的集合H（H与所有Si相交不为空）。

证明：

（1）hitting set问题是NP问题

只需要验证H的大小是否不超过b，以及验证H与Si的交不为空。

时间复杂度O(nHS)。

所以，hitting set问题为NP问题。

（2）所有问题可以归约到Hitting set问题

课本（《算法概论》）中已经证明，所有问题都可以归约到vertex cover问题。

所以，此处只要证明vertex cover问题可以归约到hitting set问题，则所有问题可以归约到hitting set问题。

以下证明vertex cover问题可以归约到hitting set问题。

构建一个图G到hitting set的映射：G中的每个点对应hitting set中的每个元素，每条边对应一个Si

b个点的vertex cover对应大小为b的hitting set：对于G中每一条边，至少有一个端点在b个点的vertex cover集合中，所以这个集合与Si的交集不为空，即此集合对应hitting set

大小为b的hitting set对应b个点的vertex cover：任意的Si与hitting set相交不为空，则每条边至少有一个端点被选中，即hitting set集合对应vertex cover

综上所述，vertex cover可以归约到hitting set问题。所以，hitting set问题是NP完全问题。