[数据结构] 时间复杂度的理解

时间复杂度：函数计算之行的基本次数

面试tip：面试官问及时间复杂度不一定只有最坏的，一般人一般会直接答最坏的，其实还有最好和平均。

例如：在一个长度为N的线性表中搜索一个数据x。

最坏：没有找到，到最后才找到

平均：不好不坏到中间才找到

最好：很开心第一下就找到了，一般必须要关注，但是在哈希的时候会关注

官方的说法：

最坏情况：任意输入规模的最大运行时间。（上界）
平均情况：任意输入规模的期望运行时间。
最好情况：任意输入规模的最小运行时间，通常最好情况不会出现。（下界）

在实际中我们通常情况考量的是算法的最坏运行情况。也就是说对于任意输入规模N，算法的最长运行时间，理由如下：

一个算法的最坏情况的运行时间是在任意输入下的运行时间上界。
对于某些算法，最坏的情况出现的较为频繁。
大体上看，平均情况与最坏情况一样差。
算法分析要保持大局观：

忽略掉那些的常数。
关注运行时间的增长趋势，关注函数式中增长最快的表达式。

描述这时间复杂度的站在数学家的角度总会抽象出一个东西，那这个东东我想就是大O的渐进表示法、

如：F(N) = N^3 + N^2 + N +1000,则关注N^3->O(N^3)

void Test1 ( int N )
{
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
//...
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
//...
}

int count = 10;
while (count --)
{
//...
}
}

[align=left]Test1的时间复杂度为：O(N^2)[/align]

void Test2 (int N, int M)
{
for (int i = 0; i < M ; ++i)
{
}

for (int k = 0; k < N ; ++k)
{
//...
}
}void Test3 (int N, int M)
{
for (int i = 0; i < M ; ++i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++j)
{
//...
}
}
}

Test2的时间复杂度为：O(M+N)

[align=left][/align]

void Test3 (int N, int M)
{
for (int i = 0; i < M ; ++i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++j)
{
//...
}
}
}

Test3的时间复杂度为：O(M*N)

下面来算下常见的几种算法的时间复杂度：
冒泡：（比较次数）
等差数列：(n-1)+(n-2)+.......+1 = n*(1+(n-1))/2 = 1/2n^2  约等于  O(n^2)
二分查找：（前提：有序）相当于一颗搜索二叉树(左孩子比根大右孩子比根小)，每次排出一半
假设树的高度h节点有N个
2^h-1 = N
二分查找的时间复杂度相当于搜索二叉树的高度 ！！！ 是不是很震撼
这里扩展下如果不是二分查找，三分，四分，五分呢？ 那不就是多叉树吗！！哈哈
二分查找的时间复杂度：O(log2N)
变形下就是：O(logmN) (m就是几叉  几分)



[align=left]折纸法理解折半查找[/align]



[align=left]递归算法的时间复杂度计算[/align]

递归算法的时间复杂度为递归总次数*每次递归次数。

空间复杂度

[align=left]空间复杂度的计算跟时间复杂度类似，也使用大O的渐进表示法。--（对象的个数）[/align]
[align=left]要注意的是递归算法的空间复杂度，假如递归深度为N*每次递归的空间大小为1，则空间复杂度为O(N)。[/align]

[align=left]
[/align]
[align=left]
[/align]

以斐波那契数列学习时间复杂度&空间复杂度的计算







[align=left]long long Fibonacci1( int n )[/align]
[align=left]{[/align]
           return n < 2 ? n : Fibonacci(n -
1) + Fibonacci( n - 2);
[align=left]}[/align]
[align=left]斐波那契递归算法时间复杂度：O（2^N）空间复杂度为:O(N)（请自己画图思考这里的时间复杂度和空间复杂度是这样？）[/align]

[align=left]
[/align]
[align=left]实现斐波那契数列[/align]
[align=left]升级版1: 要求时间复杂度为O(N)。[/align]
[align=left]升级版2：要求时间复杂复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)。[/align]
[align=left]
[/align]
[align=left]斐波那契的优化[/align]

[align=left]long long Fibonacci2(int n)[/align]
[align=left]{[/align]
[align=left]           long long * fibArray = new long long[ n+1];[/align]
[align=left]           fibArray[0] = 0;[/align]
[align=left]           fibArray[1] = 1;[/align]
[align=left]
[/align]
           for (int i =
2; i <= n ; ++i)
[align=left]          {[/align]
                    fibArray[i ] = fibArray[ i -
1] + fibArray [i - 2];
[align=left]          }[/align]
[align=left]
[/align]
[align=left]           long long ret = fibArray[n ];[/align]
[align=left]           delete[] fibArray ;[/align]
[align=left]
[/align]
[align=left]           return ret ;[/align]
[align=left]}[/align]

[align=left]long long Fibonacci3( int n )[/align]
[align=left]{[/align]
[align=left]           long long fibArray[3] = {0, 1, n};[/align]
[align=left]
[/align]
           for (int i =
2; i <= n ; ++i)
[align=left]          {[/align]
[align=left]                    fibArray[2] = fibArray [1] + fibArray[0];[/align]
[align=left]                    fibArray[0] = fibArray [1];[/align]
[align=left]                    fibArray[1] = fibArray [2];[/align]
[align=left]          }[/align]
[align=left]
[/align]
[align=left]           return fibArray [2];[/align]
[align=left]}[/align]

[align=left][/align]