[NPC] 证明EXACT 4SAT问题是NPC问题

-题目-

8.8 在精确的4SAT（EXACT 4SAT）问题中，输入为一组字句，每个子句都是恰好4个文字的析取，且每个变量最多在子句中出现一次。目标是求他的满足赋值，如果该赋值存在，证明精确的4SAT问题是NP完全问题。

-思路-

这道题是比较简单的一题，按照书上所说的证明NPC问题的方法，我们只要把目前已知的NPC问题规约到精确的4SAT问题就可以证明精确的4SAT问题是NPC问题。那么根据精确4SAT问题的形式，很容易想到最接近的已知NPC问题是3SAT问题。

因此，接下来，我们证明3SAT问题可以规约到精确的4SAT问题，以证明精确4SAT问题是NPC问题。

-证明-

对于一个已有的3SAT问题，它的基本形式如下：



我们可以将一个3SAT问题扩充到任意一个精确的4SAT问题。也即在这些子句中加入一些哑元变量。对上例如下图：



那么这种加入哑元变量使得3SAT的公式变成精确4SAT的方法显然是多项式时间的。这样的规约是有效的因为对于3SAT的可满足的取值，必存在一组变量a使得对应的精确4SAT公式也满足。

反之，令精确4SAT公式中新加入的哑元变量取值都为1，则精确4SAT问题又回到了3SAT问题。

因此以上的推理证明了3SAT问题是可以规约到精确4SAT问题的，也即精确4SAT是一个NPC问题。