96. Unique Binary Search Trees 等题

96. Unique Binary Search Trees

原题：

Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1…n?

For example,

Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

1         3     3      2      1
\       /     /      / \      \
3     2     1      1   3      2
/     /       \                 \
2     1         2                 3

题解：

给定一个正整数n，问数字1~n可以构成多少棵不同的二叉搜索树。

首先要知道二叉搜索树的特性，就是每个节点的左子树中的所有元素都比它小，右子树中的节点都比它大。而且两个子树都是二叉搜索树。那么可以这样说。在1~n数字中，如果数字

i

作为根节点，那么根节点的左子树一定是由

1 ~ i-1

构成，右子树一定是

i+1 ~ n

。在这种情况下，

i+1 ~ n

中的数字可以整体减去i，变成

1 ~ n-i

的情况。很明显就是DP的状态转移了。

因此用

f(n)

表示n个数字有多少种不同的二叉搜索树，有：

# python表示
f(0) = f(1) = 1
f(n) = sum([f(i-1)*f(n-i) for i in range(1， n+1)])

代码：

class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
if(n<2) {
return 1;
}
vector<int> f(n+1);
f[0] = 1;
f[1] = 1;
for(int i=1; i<=n; i++) {
f[i] = 0;
for(int j=1; j<=i; j++) {
f[i] += f[j-1] * f[i-j];
}
}
return f
;
}
};

416. Partition Equal Subset Sum

原题：

Given a non-empty array containing only positive integers, find if the array can be partitioned into two subsets such that the sum of elements in both subsets is equal.

Note:

Each of the array element will not exceed 100.

The array size will not exceed 200.

Example 1:

Input: [1, 5, 11, 5]

Output: true

Explanation: The array can be partitioned as [1, 5, 5] and [11].

Example 2:

Input: [1, 2, 3, 5]

Output: false

Explanation: The array cannot be partitioned into equal sum subsets.

题解：

给一组正整数，问能否把它们分成两个子集，使得两个集合的和相等。

首先可以排除一个明显无解的情况：数组的和为奇数。

把数组和除于二后，得到一个

subsum

，于是把问题变成了

subset sum

问题。

subset sum

问题有伪多项式的解法，用

f(i, j)

表示0到i个元素能否找到子集的和为j。

状态转移式为：

f(i, j) = (i == j) || (f(i-1, j)) || (j-i>=0 && f(i-1, j-i))

代码：

class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int sum = 0;
for(auto x: nums) {
sum += x;
}
if(sum % 2) {
return false;
}

sum /= 2;
vector<vector<bool>> f(nums.size(), vector<bool>(sum+1));
// f[0][sum] = (nums[0] == sum);
for(int j=1; j<=sum; ++j) {
f[0][j] = (nums[0] == j);
}
for(int i=1; i<nums.size(); ++i) {
for(int j=1; j<=sum; ++j) {
f[i][j] = (nums[i] == j) || (f[i-1][j]) || (j-nums[i]>=0 && f[i-1][j-nums[i]]);
}
}
return f[nums.size()-1][sum];
}
};