变上限积分无穷小比阶与导数的关系问题
2016-11-25 10:20
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变上限积分无穷小比阶与导数的关系问题
@(微积分)(2004)把x→0+时的无穷小α=∫x0cost2dt,β=∫x20tant√dt,γ=∫x√0sint3dtds,排在后面的是前面的高阶无穷小,则正确的排列顺序是?
分析:首先需要强调一点是:求导是降阶的。这在常识中是很自然的事情,但是容易被忽略,在无穷小的时候。比如求导以后看出函数与x2同阶,那么原函数其实是与x3同阶。
也需要注意,我们只说同阶,并未说等价,因为求导,求积分系数都有很复杂的变化,因此还需要更仔细的考量,不是直接说等价的。但同阶没有问题。
回到这里,很自然的思路是求导看一看。
dαdx=1⋅cosx2→1,当x→0时
因此意味着α与x同阶(比导数涨一阶)。
dβdx=2x⋅tanx→2x2,当x→0时
因此意味着β与x3同阶(比导数涨一阶)。
dγdx=12x√⋅sinx32→12x2,当x→0时
因此意味着γ与x2同阶。
因此,α,γ,β,即按照x,x2,x3的顺序。
如果忽视了降阶的概念,直接用导数比阶也是对的顺序,但是同时不要忽视了:
(∫ϕ(x)af(t)dt)′=f(ϕ(x))(ϕ(x))′
常常是高兴了就把变上限的复合函数的导数扔了,这是不OK的。
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