算法之最长公共子序列（动态规划）

问题描述：

最长公共子序列，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的。

举例说明：

设有两个字符串 x,y ,其中 x={′′qwertyuiop′′} y={′′qwrtiopsd′′}

那么 LCS(x,y)=′′qwrtiop′′

算法分析：

我们知道动态规划具有最优子结构性质和重叠子问题性质，其实 LCS 也具有最优子结构性质，设有 字符串 Xm=x1x2...xm,Yn=y1y2...yn， LCS(Xm,Yn)=Zk=z1z2...zk那么就有：

1) 当xm=yn 的时候就有LCS(Xm,Yn) = LCS(Xm−1,Yn−1)+1

2) 当xm!=yn, xm!=zk 的时候就有LCS(Xm,Yn) = LCS(Xm−1,Yn)

3) 当xm!=yn, yn!=zk 的时候就有LCS(Xm,Yn) = LCS(Xm,Yn−1)

那么我们设有 dp[i][j] 表示的是：以 xi 为结尾的与 以 yj 为结尾最长公共子序列的长度。

那么有 dp[i][j]=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪0,dp[i−][j−1]+1max(dp[i−1][j],dp[i][j−1])if i<=0||j<=0 if xi=yj xi!=yj

所以我们可以根据状态转移方程计算出 LCS(Xm,Yn)

然后我们将其打印出来，怎么打印呢，其实这里有一个敲门：就是用一个数组分别记录以上三种情况，然后递归打印就行，具体参照打印函数LCS。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;
const int MAXN = 1e3+5;
char x[MAXN], y[MAXN];
int lenx, leny;
int dp[MAXN][MAXN], dep[MAXN][MAXN];
void LCS(int i, int j, char x[], int b[][MAXN]){
if(i==lenx+1 || j==leny+1)
return ;
if(b[i][j] == 1){
cout<<x[i];
LCS(i+1, j+1, x, b);
}
if(b[i][j] == 2)
LCS(i, j+1, x, b);
if(b[i][j] == 3)
LCS(i+1, j, x, b);
}
int main()
{
while(1){
puts("请输入两个字符串：");
scanf("%s%s",x+1,y+1);
lenx = strlen(x+1);
leny = strlen(y+1);
memset(dp, 0, sizeof(dp));
memset(dep, 0, sizeof(dep));
for(int i=1; i<=lenx; i++){
for(int j=1; j<=leny; j++){
if(x[i] == y[j]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
dep[i][j] = 1;
}
else {
if(dp[i-1][j] > dp[i][j-1])
dep[i][j] = 2;
else
dep[i][j] = 3;
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
}
puts("他们两个的最长公共子序列的长度为:");
cout<<dp[lenx][leny]<<endl;
puts("他们的最长公共子序列是:");
LCS(1, 1, x, dep);
puts("");
puts("按任意键继续：");
char ch;
scanf("%s",&ch);
}
return 0;
}

运行后的截图：