最短路径——Floyd算法及优化(蓝桥杯试题集)
2016-11-22 15:21
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*对最短路径问题以及floyd算法、Dijkstra算法不是很理解的同学请移步前几篇博客~
题目链接:
http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T15
问题描述
给定一个n个顶点,m条边的有向图(其中某些边权可能为负,但保证没有负环)。请你计算从1号点到其他点的最短路(顶点从1到n编号)。
输入格式
第一行两个整数n, m。
接下来的m行,每行有三个整数u, v, l,表示u到v有一条长度为l的边。
输出格式
共n-1行,第i行表示1号点到i+1号点的最短路。
样例输入
3 3
1 2 -1
2 3 -1
3 1 2
样例输出
-1
-2
数据规模与约定
对于10%的数据,n = 2,m = 2。
对于30%的数据,n <= 5,m <= 10。
对于100%的数据,1 <= n <= 20000,1 <= m <= 200000,-10000 <= l <= 10000,保证从任意顶点都能到达其他所有顶点。
解题思路:
我们看到,这是一个有负值的有向图最短路径问题,我们直到,含有负值的边我们是无法使用Dijkstra的,原因很简单,Dijkstra是采用贪心的思想
其目光比较短浅23333,Dijkstra是不会想到 如果A→B大于A→C 但是还存在一个点K,使A→B→K→C要小于AC这样的情况的
所以我们先采取全部枚举的floyd算法处理一下这道题
显然是不行的啦=.=
然后我们可以尝试一些优化的方法:
我们把无效路径压缩一下:思路可以参考http://blog.csdn.net/sm9sun/article/details/53258503
最后两个数据还是无法过~我们再优化一下输入
后面的数据的确有了提升,但是依然不满足最后的数据~
那么对于含有负权值的最短路径问题我们该如何处理呢?请看下一篇博客——SPFA算法
题目链接:
http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T15
问题描述
给定一个n个顶点,m条边的有向图(其中某些边权可能为负,但保证没有负环)。请你计算从1号点到其他点的最短路(顶点从1到n编号)。
输入格式
第一行两个整数n, m。
接下来的m行,每行有三个整数u, v, l,表示u到v有一条长度为l的边。
输出格式
共n-1行,第i行表示1号点到i+1号点的最短路。
样例输入
3 3
1 2 -1
2 3 -1
3 1 2
样例输出
-1
-2
数据规模与约定
对于10%的数据,n = 2,m = 2。
对于30%的数据,n <= 5,m <= 10。
对于100%的数据,1 <= n <= 20000,1 <= m <= 200000,-10000 <= l <= 10000,保证从任意顶点都能到达其他所有顶点。
解题思路:
我们看到,这是一个有负值的有向图最短路径问题,我们直到,含有负值的边我们是无法使用Dijkstra的,原因很简单,Dijkstra是采用贪心的思想
其目光比较短浅23333,Dijkstra是不会想到 如果A→B大于A→C 但是还存在一个点K,使A→B→K→C要小于AC这样的情况的
所以我们先采取全部枚举的floyd算法处理一下这道题
#include<stdio.h> #define INF 0xFFFFFFF int a[8010][8010]; int fmin(int a,int b) { return a<b?a:b; } int main() { int n,m,i,j,k; int u,v,l; while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) i==j?a[i][j]=0:a[i][j]=INF; while(m--) { scanf("%d%d%d",&u,&v,&l); a[u][v]=fmin(a[u][v],l); } for(k=1;k<=n;k++) //存在一个k 使aik+akj路径小于aij for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) a[i][j]=fmin(a[i][j],a[i][k]+a[k][j]); for(i=2;i<=n;i++) printf("%d\n",a[1][i]); } return 0; }
显然是不行的啦=.=
然后我们可以尝试一些优化的方法:
我们把无效路径压缩一下:思路可以参考http://blog.csdn.net/sm9sun/article/details/53258503
#include<stdio.h> #define inf 0xFFFFFFF int dp[20011][1600][2]; //对于i点j条边所对应的点以及权值 int count[20011]; //i点总共的边数 int o[ 4000 20011]; //optimum int fmin(int a,int b) { return a<b?a:b; } void sx(int k) { int i; for(i=0;i<count[k];i++) { if((o[dp[k][i][0]])>(o[k]+dp[k][i][1])) { o[dp[k][i][0]]=o[k]+dp[k][i][1]; sx(dp[k][i][0]); } } } int main() { int i,j,k,n,m; int s,e,l; while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { for(i=1;i<=n;i++) { count[i]=0; o[i]=inf; } for(i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d",&s,&e,&l); dp[s][count[s]][0]=e; dp[s][count[s]][1]=l; count[s]++; } for(i=0;i<count[1];i++) o[dp[1][i][0]]=fmin(o[dp[1][i][0]],dp[1][i][1]); for(k=2;k<=n;k++) //存在一个k 使aik+akj路径小于aij sx(k); for(i=2;i<=n;i++) printf("%d\n",o[i]); } return 0; }
最后两个数据还是无法过~我们再优化一下输入
#include<stdio.h> #define inf 0xFFFFFFF int dp[20011][1600][2]; int count[20011]; int o[20011]; int fmin(int a,int b) { return a<b?a:b; } void sx(int k) { int i; for(i=0;i<count[k];i++) { if((o[dp[k][i][0]])>(o[k]+dp[k][i][1])) { o[dp[k][i][0]]=o[k]+dp[k][i][1]; sx(dp[k][i][0]); } } } void dr() { int s,e,l,j; scanf("%d%d%d",&s,&e,&l); for(j=0;j<count[s];j++) { if(dp[s][j][0]==e) { dp[s][j][1]=fmin(dp[s][j][1],l); return; } } dp[s][count[s]][0]=e; dp[s][count[s]][1]=l; count[s]++; } int main() { int i,j,k,n,m; while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { for(i=1;i<=n;i++) { count[i]=0; o[i]=inf; } for(i=1;i<=m;i++) dr(); for(i=0;i<count[1];i++) o[dp[1][i][0]]=fmin(o[dp[1][i][0]],dp[1][i][1]); for(k=2;k<=n;k++) //存在一个k 使aik+akj路径小于aij sx(k); for(i=2;i<=n;i++) printf("%d\n",o[i]); } return 0; }
后面的数据的确有了提升,但是依然不满足最后的数据~
那么对于含有负权值的最短路径问题我们该如何处理呢?请看下一篇博客——SPFA算法
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