2016 acm/icpc 沈阳现场赛题解（5道题，更新ing）

5948.Thickest Burger(签到题)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5948

题目大意：

给你A和B，问2A+B和2B+A谁大？

题目分析：

略。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,a,b;
int main() {
scanf("%d",&T);
while(t--) {
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d\n", max(a*2+b,b*2+a));
}

}

5949. Relative atomic mass (签到题)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5949

题目大意：

输入一个由C H O组成的分子式，求相对分子质量。

题目分析：

略。(实在不知道为什么这么水的两道题会出现在ACM竞赛中。)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RE(x) freopen(x,"r",stdin)
#define WR(x) freopen(x,"w",stdout)
typedef long long ll;
int T;
char s[15];
int main() {
scanf("%d",&T);
while(T--) {
scanf("%s",s);
int ans=0;
for(int i=0;i<strlen(s);i++) {
if(s[i]=='H') ans+=1;
else if(s[i]=='O') ans+=16;
else if(s[i]=='C') ans+=12;
}
printf("%d\n",ans );
}
}

5950. Recursive sequence(矩阵快速幂解递推公式)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5950

题目大意：

已知f1=a,f2=b,fn=2fn−2+fn−1+n4，求fn%M.

题目分析：

这道题直接推肯定是不可能的，因为n的范围到了231，这个解法我也是头一次见到，是用矩阵乘法去推一个数列的第n项。

这篇文章中介绍了这种常系数线性递推式的矩阵构造方法：http://www.cnblogs.com/wmrv587/p/3965424.html

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢f(n)f(n−1)n4n3n2n1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=A∗⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢f(n−1)f(n−2)(n−1)4(n−1)3(n−1)2n−11⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

即Xn=A∗xn−1,所以Xn=An−2X2,而X2显然是已知的。

问题转化为构造这个矩阵A，根据递推公式，很容易推出来这个矩阵A长这个样子：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1100000200000010100004041000606310040432101011111⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

接下来就是套快速矩阵乘法的模板了，复杂度仅为O(logn).

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RE(x) freopen(x,"r",stdin)
#define WR(x) freopen(x,"w",stdout)
typedef long long ll;
ll M = 2147493647L;
class Matrix{
public:
ll mat[7][7]={
{1,2,1,4,6,4,1},
{1,0,0,0,0,0,0},
{0,0,1,4,6,4,1},
{0,0,0,1,3,3,1},
{0,0,0,0,1,2,1},
{0,0,0,0,0,1,1},
{0,0,0,0,0,0,1}
};
Matrix operator*(const Matrix& m)const{
Matrix tmp;
for(int i = 0 ; i < 7; i++){
for(int j = 0 ; j < 7 ; j++){
tmp.mat[i][j] = 0;
for(int k = 0 ; k < 7 ; k++){
tmp.mat[i][j] += mat[i][k]*m.mat[k][j]%M;
tmp.mat[i][j] %= M;
}
}
}
return tmp;
}

};
Matrix Pow(Matrix &m , int k){
Matrix ans;
memset(ans.mat , 0 , sizeof(ans.mat));
for(int i = 0 ; i < 7 ; i++)
ans.mat[i][i] = 1;
while(k){
if(k&1)
ans = ans*m;
k >>= 1;
m = m*m;
}
return ans;
}
int T;
int main() {
int T;
ll a,b,n;
scanf("%d",&T);
while(T--) {
scanf("%I64d %I64d %I64d",&n,&a,&b);
Matrix m;
Matrix A=Pow(m,n-2);
ll ans=(A.mat[0][0]*b+A.mat[0][1]*a+A.mat[0][2]*16+A.mat[0][3]*8+A.mat[0][4]*4+A.mat[0][5]*2+A.mat[0][6]*1)%M;
cout<<ans<<endl;
}
}

5952.Counting Cliques(回溯法)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5952

题目大意：

n个点，m个边，每个点的度不超过20，的无向图，问里面有几个子图是s元完全图？

题目分析：

没什么高明的办法。就是在回溯的基础上加一些pruning。我们用

dfs(u,d)

表示当前搜索的是点u，已经找到了d个点的完全子图。

用一个数组path记录下搜索路径，当前点的出边数目如果小于s-d，则这个点不可能在解里面，然后搜索的时候只从较小的点往较大的点搜。因为如果

1-2-3-4-5

是解，那么

2-3-4-1-5

也是同一个解，所以只从号小往号大的点搜是可以确保不漏解的。

注意因为遍历所有组合，所以搜完一个点回来的时候，要去掉访问标记，因为很显然搜过的点还有可能出现在解里面。

建图的方式很巧妙，这个也是参考了博客上大神的题解，先把无向边变成小点指向大点的有向边，再用0-1矩阵存一个完整的图以确保反向边的信息不丢失，然后深搜的时候沿着邻接表搜，判定一个点是否和path中其他点连通的时候用邻接矩阵判断。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RE(x) freopen(x,"r",stdin)
#define WR(x) freopen(x,"w",stdout)
typedef long long ll;
int T;
int n,m,s;
vector<int> g[105];
bool graph[105][105];
bool vis[105];
int ans;
int path[105];
void dfs(int u,int d) { //当前搜索u点，已经找到d个点的完全图
if(d==s) {
ans++;
return;
}
if(g[u].size()+d<s)
return;
for(int i=0;i<g[u].size();i++) {
int v=g[u][i];
bool flag=true;
for(int j=0;j<d;j++) {
if(!graph[v][path[j]])
flag=false;
if(g[v].size()+1+d<s)
flag=false;
if(!flag) break;
}
if(flag) {
vis[v]=true;
path[d]=v;
dfs(v,d+1);
vis[v]=false;
}

}
}
int main() {

scanf("%d",&T);
while(T--) {
scanf("%d %d %d",&n,&m,&s);
for(int i=1;i<=n;i++)
g[i].clear();
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(path,0,sizeof(path));
memset(graph,0,sizeof(graph));
while(m--) {
int u,v;
scanf("%d %d",&u,&v);
graph[u][v]=graph[v][u]=1;
g[min(u,v)].push_back(max(u,v));
}
ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
if(!vis[i]) {
vis[i]=true;
path[0]=i;
dfs(i,1);
vis[i]=false;
}
}
printf("%d\n", ans);
}
}

5954. Do not pour out(数学，二分答案)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5952

题目大意：

有一个圆柱形水桶，底面直径是2，高是2，装有h高度的水，现在把杯子倾斜，使得水恰好不溢出，求横截面的面积，保留5位小数。

题目分析：

首先明确本题的截面有两种形状：(图我实在是画不出来，表示matlab不会用的渣渣。。。。)

实在是不会画图了，参考http://blog.csdn.net/danliwoo/article/details/53002695 这篇博文中的图

未授权侵删。

d≥1时，是一个椭圆

如图所示：


这个椭圆的半长轴等于 (2−d)2+1−−−−−−−−−−√，半短轴为1。

d<1时候，是椭圆切掉一个角



这个就比较复杂了。首先，这个面积就很奇怪，所以我们用他在水平面上的投影（是个弓形）来间接求。

设水平面弓形的圆心角是2α0,面积我们用S(α0) 表示。则有：

Ssinθ=S(α0)(1)

接下来的问题就是用d表是 θ 和 α0.

设弓形那条弦的中点到圆柱右下角（相当于图中的(0,2)点）的距离为L，我们知道:

sinθ=LL2+4−−−−−√(2)

分 α是锐角和钝角讨论，均有：

L=1−cosα0(3)

S(α)=α−12sin2α(4)

联立 (1)(2)(3)(4)，解得：

S=(α0−12sin2α0)(1−cosα0)2+4−−−−−−−−−−−−−√1−cosα0(5)

那么接下来我们就要建立d和 α0的关系.

根据水的体积相等，我们可以列出方程：

πd=∫20S(y)dy(6)

但是我们只知道S(α)，所以还要推出y和 α的关系。我们发现对任意y，向y轴做垂线，得到的三角形都是相似的，所以我们根据对应边成比例得到：

y=g(α)=2(1−cosα)1−cosα0(7)

其中 α0 是与积分变量 α无关的常数。

(7) 代入 (6),积分换元得：

πd(1−cosα0)2=∫α00(α−12sin2α)sinαdα(8)

积出来，得到:

d=2(sinα0−α0cosα0−13sin3α0)π(1−cosα0)(9)

这个关于 α0的方程是没有解析解的，所以只能求近似的数值解，根据几何意义，α0(d) 在 (0,1) 上单调递增,所以可以二分法求出来，然后代入 (5) 求出S。

注意，这里充分小的eps要取到1e-10及以下，否则会丢精度。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define eps 1e-10
#define RE(x) freopen(x,"r",stdin)
#define WR(x) freopen(x,"w",stdout)
const double PI = acos(-1.0);
typedef long long ll;
int T;
double d;
double f(double a) {
return 2*(sin(a)-a*cos(a)-sin(a)*sin(a)*sin(a)/3)/(PI*(1-cos(a)));

}
double getalpha() {
double l=0,r=PI;
while(l-r<eps) {
double mid=(l+r)/2;
if(fabs(f(mid)-d)<eps)//这里写成1e-9就会错
return mid;
else if(f(mid)>d)
r=mid;
else
l=mid;
}
}
double solve() {
if(fabs(d)<eps)
return 0;
if(fabs(d-1.0)<eps)
return PI*sqrt(2.0);
else if((d-eps)>1.0)  //d>1
return PI*sqrt((2-d)*(2-d)+1.0);
else { //d<1
double a=getalpha();
double s=(a-sin(2*a)/2)*sqrt(4+(1-cos(a))*(1-cos(a)))/((1-cos(a)));
return s;
}

}
int main() {
scanf("%d",&T);
while(T--) {
scanf("%lf",&d);
printf("%.5f\n", solve());
}
}