向量点积与叉积等几何的定义及应用研究

要计算两个向量的点积，需要将两个向量的对应分量相乘，然后再将乘积相加。下面这段代码可以计算出两个二维向量的点积：

var dotProduct = vectorOne.x * vectorTwo.x +vectorOne.y * vectorTwo.y;

计算两个向量之间的点积是很简单的，不过，这个点积的意义理解起来可就有些不太直观了。首先请注意，与两个向量的加减法运算结果不同，点积不是向量。专业人员把这种值叫做“标量”（scalar，也叫“纯量”），就是说，它仅仅是个数字而已。

一，向量点积与叉积的定义

向量的点积：

假设向量u(ux, uy)和v(vx, vy)，u和v之间的夹角为α，从三角形的边角关系等式出发，可作出如下简单推导：

  |u - v||u - v| = |u||u| + |v||v| - 2|u||v|cosα   

===>

  （ux - vx）2 + (uy - vy)2  = ux2 + uy2 +vx2+vy2-
2|u||v|cosα 

===>

   -2uxvx - 2uyvy = -2|u||v|cosα

===>

   cosα = (uxvx + uyvy) / (|u||v|)

这样，就可以根据向量u和v的坐标值计算出它们之间的夹角。

定义u和v的点积运算： u . v = (uxvx + uyvy)，

上面的cosα可简写成： cosα = u . v / (|u||v|)

当u . v = 0时（即uxvx + uyvy = 0），向量u和v垂直；当u . v >
0时，u和v之间的夹角为锐角；当u . v < 0时，u和v之间的夹角为钝角。

可以将运算从2维推广到3维。

两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。

向量的叉积：

假设存在向量u(ux, uy, uz), v(vx, vy, vz), 求同时垂直于向量u, v的向量w(wx, wy, wz).

因为w与u垂直，同时w与v垂直，所以w . u = 0, w . v = 0; 即
uxwx + uywy + uzwz = 0;
vxwx + vywy + vzwz = 0;

分别削去方程组的wy和wx变量的系数，得到如下两个等价方程式：

(uxvy - uyvx)wx = (uyvz - uzvy)wz

(uxvy - uyvx)wy = (uzvx - uxvz)wz

于是向量w的一般解形式为：

w = (wx, wy, wz) = ((uyvz - uzvy)wz /
(uxvy - uyvx), (uzvx - uxvz)wz /
(uxvy - uyvx), wz)

  = (wz / (uxvy - uyvx) * (uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx))

因为：

   ux(uyvz - uzvy) + uy(uzvx - uxvz)
+ uz(uxvy - uyvx)

 = uxuyvz - uxuzvy + uyuzvx - uyuxvz + uzuxvy - uzuyvx

 = (uxuyvz - uyuxvz) + (uyuzvx - uzuyvx)
+ (uzuxvy - uxuzvy)   

 = 0 + 0 + 0 = 0

   vx(uyvz - uzvy) + vy(uzvx - uxvz)
+ vz(uxvy - uyvx)   

 = vxuyvz - vxuzvy + vyuzvx - vyuxvz + vzuxvy - vzuyvx

 = (vxuyvz - vzuyvx) + (vyuzvx - vxuzvy)
+ (vzuxvy - vyuxvz)

 = 0 + 0 + 0 = 0

由此可知，向量(uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx)是同时垂直于向量u和v的。

为此，定义向量u = (ux, uy, uz)和向量 v = (vx, vy, vz)的叉积运算为：u x v =
(uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx)

上面计算的结果可简单概括为：向量u x v垂直于向量u和v。

根据叉积的定义，沿x坐标轴的向量i = (1, 0, 0)和沿y坐标轴的向量j = (0, 1, 0)的叉积为：

 i x j = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0) = (0, 0, 1) = k

同理可计算j x k:

 j x k = (0, 1, 0) x (0, 0, 1) = (1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 0 * 0) = (1, 0, 0) = i

以及k x i:

 k x i = (0, 0, 1) x (1, 0, 0) = (0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 0) = (0, 1, 0) = j

由叉积的定义，可知：

 v x u = (vyuz - vzuy, vzux - vxuz, vxuy - vyux)
= - (u x v)