循环码的概念以及拓展

循环码是线性分组码的一个重要子集，是目前研究得最成熟的一类码。它有许多特殊的代数性质，这些

性质有助于按所要求的纠错能力系统地构造这类码，且易于实现；同时循环码的性能也较好，具有较强的检错

和纠错能力。

    一、 循环码的特点

    循环码最大的特点就是码字的循环特性，所谓循环特性是指：循环码中任一许用码组经过循环移位后，所

得到的码组仍然是许用码组。若（

 

 … 

 

）为一循环码组，则（

 

…

 

）、（



 …

 

）、……还是许用码组。也就是说，不论是左移还是右移，也不论移多少位，仍然是许用的循

环码组。表8-7给出了一种（7，3）循环码的全部码字。由此表可以直观地看出这种码的循环特性。例如，表中

的第2码字向右移一位，即得到第5码字；第6码字组向右移一位，即得到第3码字。

　

    为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多项是来表示，这个多项式被称为码多项式，对于许用循

环码A=(

 

 … 

 

)，可以将它的码多项式表示为：

  

（8-20）

对于二进制码组，多项式的每个系数不是0就是1，x仅是码元位置的标志。因此，这里并不关心x的取值。而

表8-7中的任一码组可以表示为：


（8-20）

对于二进制码组，多项式的每个系数不是0就是1，x仅是码元位置的标志。因此，这里并不关心x的取值。

    而表8-7中的任一码组可以表示为：

（8－21）

                     表8-7一种（7，3）循环码的全部码字

序号	码字		序号	码字
信息位 a6 a5 a4	监督位 a3 a2 a1 a0	信息位 a6 a5 a4	监督位 a3 a2 a1 a0
1	0  0  0	0  0  0  0	5	1  0  0	1  0  1  1
2	0  0  1	0  1  1  1	6	1  0  1	1  1  0  0
3	0  1  0	1  1  1  0	7	1  1  0	0  1  0  1
4	0  1  1	1  0  0  1	8	1  1  1	0  0  1  0

  例如，表中的第7码字可以表示为：

        

    （8-22）                      

 在整数运算中，有模n运算。例如，在模2运算中，有1+1＝2≡0（模2），1+2＝3≡1（模2），2×3＝6≡0

（模2）等。因此，若一个整数m可以表示为:

                   

                          （8-23）

　

则在模n运算下，有m≡p（模n），也就是说，在模n运算下，一整数m等于其被n除所得的余数。

    在码多项式运算中也有类似的按模运算法则。若一任意多项式F(x)被一个n次多项式N(x)除，得到商式Q(x)

和一个次数小于n的余式R(x)，也就是：                        


                （8-24）

    

    则可以写为：F(x)≡R(x)（模N(x)）。

    这时，码多项式系数仍按模2运算，即只取值0和1，假设：计算x4+x2+1除以x3+1的值可得：             

　

 

                   （8-25）


         （8-27）

　

    其对应的码组为0101110，它正是表8-7中第3码字。

    通过上述分析和演算可以得到了一个重要的结论：一个长度为n的循环码，它必为按模（

）运算的一

个余式。

     二、 循环码的生成多项式和生成矩阵

    （全0码字除外）称为生成多项式，用g(x)表示。可以证明生成多项式g(x)具有以下特性： 

    （1）g(x)是一个常数项为1的r=n-k次多项式；

    （2）g(x)是

的一个因式；

    （3）该循环码中其它码多项式都是g(x)的倍式。

     为了保证构成的生成矩阵G的各行线性不相关，通常用g(x)来构造生成矩阵，这时，生成矩阵G可以表示为：

                       

                           （8-28）

 

      其中

，因此，一旦生成多项式g(x)确定以后，该循环码的生成矩阵就可以

确定，进而该循环码的所有码字就可以确定。显然，式（8-28）不符合

形式，所以此生成矩阵不是典

型形式，不过，可以通过简单的代数变换将它变成典型矩阵。

    现在以表8-7的（7，3）循环码为例，来构造它的生成矩阵和生成多项式，这个循环码主要参数为，n＝7，

k＝3，r＝4。从表中可以看到，其生成多项式可以用第1码字构造： 

　


                     （8-29）


                      （8-30）

                         


                  

    在上面的例子中，是利用表8-7给出的（7，3）循环码的所有码字，构造了它的生成多项式和生成矩阵。但

在实际循环码设计过程中，通常只给出码长和信息位数，这就需要，这时可以利用设计生成多项式和生成矩阵g(x)所具有基本特性进行设计。

    首先，生成多项式g(x)是

的一个因式，其次g(x)是一个r次因式。因此，就可以先对

进行因式分

解，找到它的r次因式。下面仍以（7，3）循环码为例进行分析。

    第一步：对

进行因式分解得：

             

            （8-31）

 第二步：构造生成多项式g（x）

    为了求（7，3）循环码的生成多项式g(x)，要从式（8-31）中找到r=n-k次的因子。不难看出，这样的因子

有两个，即：

　

                    

                       (8-32)

                    

                       (8-33) 

　

    以上两式都可作为生成多项式用。不过，选用的生成多项式不同，产生出的循环码码组就不同。用式（8-32

作为生成多项式产生的循环码即为表8-7所列。

    当然，在利用式（8-30）得到生成矩阵G以后，可以通过线性变化，使之成为典型矩阵，这时就可以采用类似监督矩阵H。

    由于（n,k）循环码中g(x)是

的因式，因此可令：


                (8-34)

                                      

      这里h（x）称为监督多项式。与式（8-28）所表示的G(x)相对应，监督矩阵表

      示为： 


　

      其中

是

逆多项式。 

　

      

                 （8-36）

　

      对于表8-7中的（7,3）循环码，

，则： 

　

       


      


    8.4.3 循环码的编、译码方法

    1.编码过程 

    在编码时，首先需要根据给定循环码的参数确定生成多项式g(x)，也就是从

的因子中选一个（n-k）次

多项式作为g(x)；然后，利用循环码的编码特点，即所有循环码多项式A(x)都可以被g(x)整除，来定义生成多项

式g(x)。 

    根据上述原理可以得到一个较简单的系统：设要产生（n,k）循环码，m(x)表示信息多项式，循环码编码方法

则其次数必小于k，而

·m(x)的次数必小于n，用

·m(x)除以g(x)，可得余数r(x)，r(x)的次数必小于

（n-k），将r(x)加到信息位后作监督位，就得到了系统循环码。下面就将以上各步处理加以解释。

    （1）用

乘m(x)。这一运算实际上是把信息码后附加上（n-k）个“0”。例如，信息码为110，它相当

于m(x)＝

+x。当n-k＝7-3＝4时，

·m（x）＝

+

，它相当于1100000。而希望的到得系统循环码多项

式应当是A(x) = 

·m(x)
+ r(x)。

    （2）求r(x)。由于循环码多项式A(x)都可以被g(x)整除，也就是： 

　


                     （8-37） 

　

       因此，用

·m(x)除以g(x)，就得到商Q(x)和余式r(x)，即

               

          （8-38）

     这样就得到了r(x)。

    （3）编码输出系统循环码多项式A(x)为： 

　

     

                             （8-39）

    例如，对于（7，3）循环码，若选用

，信息码110时，则：

    

      （8-40）

   上式相当于              


    这时的编码输出为：1100101。

    上述三步编码过程，在硬件实现时，可以利用除法电路来实现，这里的除法电路采用一些移位寄存器和模2

加法器来构成。下面将以（7,3）循环码为例，来说明其具体实现过程。设该（7,3）循环码的生成多项式为：

，则构成的系统循环码编码器如图8-6所示，图中有4个移位寄存器，一个双刀双掷开关。

    当信息位输入时，开关位置接“2”，输入的信息码一方面送到除法器进行运算，一方面直接输出；当信息位全部

输出后，开关位置接“1”，这时输出端接到移位寄存器的输出，这时除法的余项，也就是监督位依次输出。当信

息码为110时，编码器的工作过程如表8-8： 

                                 


                                           图8-6 （7，3）循环码编码器

                       

     顺便指出，由于数字信号处理器（DSP）和大规模可编程逻辑器件（CPLD和FPGA）的广泛应用，目前已多采

    用这些先进器件和相应的软件来实现上述编码。

            表8-8 编码器工作过程

输入 (m)	移位寄存器 (abcd)	反馈 (e)	输出 (f)
0	0   0   0   0	0	0
1 1 0	1   1   1   0 1   0   0   1 1   0   1   0	1 1 1	1 1 0
0 0 0 0	0   1   0   1 0   0   1   0 0   0   0   1 0   0   0   0	0 1 0 1	0 1 0 1

2.译码过程 

    对于接收端译码的要求通常有两个：检错与纠错。达到检错目的的译码十分简单，可以由式（8-37），通过

判断接收到的码组多项式B(x)是否能被生成多项式g(x)整除作为依据。当传输中未发生错误时，也就是接收的码

组与发送的码组相同，即A(x)=B(x)，则接收的码组B(x)必能被g(x)整除；若传输中发生了错误，则A(x)≠B(x)

，B(x)不能被g(x)整除。因此，可以根据余项是否为零来判断码组中有无错码。

    需要指出的是，有错码的接收码组也有可能被g(x)整除，这时的错码就不能检出了。这种错误被称为不可检

错误，不可检错误中的错码数必将超过这种编码的检错能力。

    在接收端为纠错而采用的译码方法自然比检错要复杂许多，因此，对纠错码的研究大都集中在译码算法上。

我们知道，校正子与错误图样之间存在某种对应关系。如同其它线性分组码，循环编码和译码可以分三步进行：

    （1）由接收到的码多项式B(x)计算校正子（伴随式）多项式S(x)；

    （2）由校正子S(x)确定错误图样E(x)；

    （3）将错误图样E(x)与B(x)相加，纠正错误。

    上述第（1）步运算和检错译码类似，也就是求解B(x)整除g(x)的余式，第（3）步也很简单。因此，纠错码

译码器的复杂性主要取决于译码过程的第（2）步。

    基于错误图样识别的译码器称为梅吉特译码器，它的原理图如图8-7所示。错误图样识别器是一个具有（n-k）

个输入端的逻辑电路，原则上可以采用查表的方法，根据校正子找到错误图样，利用循环码的上述特性可以简化识

别电路。梅吉特译码器特别适合于纠正2个以下的随机独立错误。

    图8-7中k级缓存器用于存储系统循环码的信息码元，模2加电路用于纠正错误。当校正子为0时，模2加来自错

误图样识别电路的输入端为0，输出缓存器的内容；当校正子不为0时，模2加来自错误图样识别电路的输入端在第

i位输出为1，它可以使缓存器输出取补，即纠正错误。

    循环码的译码方法除了梅吉特译码器以外，还有补错编译码、大数逻辑编译码等方法。捕错译码是梅吉特译码的一种

变形，也可以用较简单的组合逻辑电路实现，它特别适合于纠正突发错误、单个随机错误和两个错误的码字。大数

逻辑译码也称为门限译码，这种译码方法也很简单，但它只能用于有一定结构的为数不多的大数逻辑可译码，虽然

在一般情形下，大数逻辑可译码的纠错能力和编码效率比有相同参数的其它循环码（如BCH码）稍差，但它的译码

算法和硬件比较简单，因此在实际中有较广泛的应用。

                           

            

                                 图8-7 梅吉特译码器原理
http://www.jlrtvu.jl.cn/wlkc/course/180002088-1/203-03.htm