动态规划——矩阵连乘(算法设计课题)
2016-11-20 14:28
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问题描述:给定n个矩阵{A1,A2,…,An},其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2 ,…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。例如:A1={30x35} ; A2={35x15} ;A3={15x5} ;A4={5x10} ;A5={10x20} ;A6={20x25} 最后的结果为:((A1(A2A3))((A4A5)A6)) 最小的乘次为15125。
解题思路:能用动态规划的一个性质就是最优子结构性质,也就是说计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子琏A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。动态规划算法解此问题,可依据其递归式以自底向上的方式进行计算(即先从最小的开始计算)。在计算过程中,保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次,而在后面需要时只要简单查一下,从而避免大量的重复计算,最终得到多项式时间的算法。我们可以根据下面这个公式来计算结果。其中p[i-1]表示的是第i个矩阵的行数,p[k]表示i:k矩阵合起来后最后得到的列数,p[j]是k+1:j合起来后得到的列数。这个部分的计算方法其实就是计算两个矩阵相乘时总共的乘次数。
从连乘矩阵个数为2开始计算每次的最小乘次数m[i][j]: m[0][1] m[1][2] m[2][3] m[3][4] m[4][5] //m[0][1]表示第一个矩阵与第二个矩阵的最小乘次数
然后再计算再依次计算连乘矩阵个数为3:m[0][2] m[1][3] m[2][4] m[3][5]
连乘矩阵个数为4:m[0][3] m[1][4] m[2][5]
连乘矩阵个数为5:m[0][4] m[1][5]
连乘矩阵个数为6:m[0][5] //即最后我们要的结果
#include<stdio.h>
int p[101],m[101][101],s[101][101];
int n;
void matrixChain()
{
for(int i=1;i<=n;i++)m[i][i]=0;
for(int r=2;r<=n;r++)
for(int i=1;i<=n-r+1;i++){
int j = r+i-1;
m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
for(int k = i+1;k<j;k++){
int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(temp<m[i][j]){
m[i][j]=temp;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
void traceback(int i,int j)
{
if(i==j)return ;
traceback(i,s[i][j]);
traceback(s[i][j]+1,j);
printf("Multiply A[%d,%d]and A[%d,%d]\n",i,s[i][j],s[i][j]+1,j);
}
int main()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
for(int i=0;i<=n;i++)
scanf("%d",&p[i]);
matrixChain();
traceback(1,n);
printf("%d\n",m[1]
);
}
return 0;
}
解题思路:能用动态规划的一个性质就是最优子结构性质,也就是说计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子琏A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。动态规划算法解此问题,可依据其递归式以自底向上的方式进行计算(即先从最小的开始计算)。在计算过程中,保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次,而在后面需要时只要简单查一下,从而避免大量的重复计算,最终得到多项式时间的算法。我们可以根据下面这个公式来计算结果。其中p[i-1]表示的是第i个矩阵的行数,p[k]表示i:k矩阵合起来后最后得到的列数,p[j]是k+1:j合起来后得到的列数。这个部分的计算方法其实就是计算两个矩阵相乘时总共的乘次数。
从连乘矩阵个数为2开始计算每次的最小乘次数m[i][j]: m[0][1] m[1][2] m[2][3] m[3][4] m[4][5] //m[0][1]表示第一个矩阵与第二个矩阵的最小乘次数
然后再计算再依次计算连乘矩阵个数为3:m[0][2] m[1][3] m[2][4] m[3][5]
连乘矩阵个数为4:m[0][3] m[1][4] m[2][5]
连乘矩阵个数为5:m[0][4] m[1][5]
连乘矩阵个数为6:m[0][5] //即最后我们要的结果
#include<stdio.h>
int p[101],m[101][101],s[101][101];
int n;
void matrixChain()
{
for(int i=1;i<=n;i++)m[i][i]=0;
for(int r=2;r<=n;r++)
for(int i=1;i<=n-r+1;i++){
int j = r+i-1;
m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
for(int k = i+1;k<j;k++){
int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(temp<m[i][j]){
m[i][j]=temp;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
void traceback(int i,int j)
{
if(i==j)return ;
traceback(i,s[i][j]);
traceback(s[i][j]+1,j);
printf("Multiply A[%d,%d]and A[%d,%d]\n",i,s[i][j],s[i][j]+1,j);
}
int main()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
for(int i=0;i<=n;i++)
scanf("%d",&p[i]);
matrixChain();
traceback(1,n);
printf("%d\n",m[1]
);
}
return 0;
}
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