算法导论笔记 - 哈希表 / 散列表

1. 介绍

散列表又名散列表，是实现字典操作的一种数据格式，其有增删查改操作，在最坏情况下，其查找时间为 θ(n)， 平均时间下为 O(1)

1.1 需要理解的几个概念

全域U：关键字 K 所在集合

槽：关键字k散列到散列表的位置

散列方法h(k): 用于计算关键字k所在散列表中槽的位置

冲突：同一槽中可能会被散列多个关键字，称之为冲突

简单均匀散列：关键字等可能性的散列到m个槽中的任何一个，其与其他元素散列到什么位置无关

装载因子a：一个槽位，平均存储元素数， 在简单均匀散列假设下，a=n/m

1.2 什么是好的散列函数

尽可能近似简单均匀散列

近似key散列到同一槽中的可能性最小化

散列方法应不受关键字分布的影响

2. 散列冲突的两种解决方法

2.1 链接法解决散列冲突

将散列到同一槽中的所有元素放入一个链表中

2.1.1 链接表性能分析

简单均匀散列假设下，一次不成功查找的时间复杂度为θ(1+a)

简单均匀散列假设下，一次成功查找的时间复杂度为θ(1+a)

注：

1)最坏情况为，所有元素都被散列到同一槽中，此时查找时间为 θ(n)

2)当槽数 m 与 元素数 n 成正比时，有n=O(m), 则a=n/m=O(1)

2.2 开放寻址表解决散列冲突

插入元素时，连续的探查(probe)散列表，直到探查一个空槽， 并插入元素。

注：

1） 槽位可能被全部占满

2） 装载因子 a<=1

2.2.1 常用的探查方法

线性探查

二次探查

双重探查

2.2.2开放寻址表性能分析

时间花销主要在探查次数上，探查次数 = 探查发生冲突的次数 + 1

设 随机变量 X 为探查发生冲突的次数，

定义事件 Ai(i=1,2,…)为第i次发生了冲突的探查

在简单均匀散列假设下， 期望的探查次数 ≤11−a

证明：

{X≥i}=A1⋂A2⋂...⋂Ai−1

故有

Pr{X≥i}=Pr{A1⋂A2⋂...⋂Ai−1}=nm⋅n−1m−1⋅n−2m−2⋅n−i+2m−i+2≤(nm)i−1=ai−1

则E[X]=∑i=1∞Pr{X≥i}≤∑i=1∞ai−1=∑i=0∞ai=11−a

在简单均匀散列假设下， 向一个装载因子为a的开放寻址表中插入一个元素，探查次数 ≤11−a

在简单均匀散列假设下， 一次成功查找的探查期望数 ≤1aln11−a

注：a 越大，即散列表越密集， 探查次数越多；a越小，即散列表越稀疏，探查次数越小，结论为 表越稀疏，效率越高。

3. 常用散列方法

除法散列 h(k) = k mod m

乘法散列

全域散列

完全散列

下一章我们会详细讲解这几种散列方法