HDU 3555 Bomb （数位DP）

Problem Description

The counter-terrorists found a time bomb in the dust. But this time the terrorists improve on the time bomb.

The number sequence of the time bomb counts from 1 to N. If the current number sequence includes the

sub-sequence “49”, the power of the blast would add one point.Now the counter-terrorist knows the number N.

They want to know the final points of the power. Can you help them?

Input

The first line of input consists of an integer T (1 <= T <= 10000), indicating the number of test cases.

For each test case, there will be an integer N (1 <= N <= 2^63-1) as the description.The input terminates by end of file marker.

Output

For each test case, output an integer indicating the final points of the power.

Sample Input

3
1
50
500

Sample Output

0
1
15

题意

给定一个数n，求[1,n]中含有”49”的数的个数。

From 1 to 500, the numbers that include the sub-sequence "49" are "49","149","249","349","449","490","491","492","493","494","495","496","497","498","499",so the answer is 15.

思路

首先我们考虑一个数中有无”49”的几种情况。(假设*中不包含”49”)

1. ***49****
2. *********
3. 9********
4. 49*******

其实1和4是一样的情况，对于3，我们只需要在最高位添加一个4便组成一个含有”49”的数字，而对于2，数字中不包含”49”。

状态转移

dp[i][0]代表长度为 i 并且不含有"49"的数字的个数；
dp[i][1]代表长度为 i 并且不含有"49"且高位是9的数字的个数；
dp[i][2]代表长度为 i 并且含有49的数字的个数。

数组

a[i]

从低位到高位存储 n 的每一位数字。

dp[i][0] = dp[i-1][0] * a[i] - dp[i-1][1];

表示长度为 i 的不含有49的数字的个数，它等于长度为 i - 1 的不含有49的数字的个数*当前位的数字，因为这个位置可以填

0~a[i] - 1

，然后再减去长度为 i - 1 的最高位是9的数字的个数，因为如果长度为 i - 1 的最高位是9的话，那么高一位就不能填4了，否则就组成了49。

dp[i][1] = dp[i-1][0];

表示长度为 i 的并且不含有49同时最高位是9的数字的个数，它等于长度为 i - 1 的不含有49的数字的个数，因为只要在它的高一位加上一个9就可以了。

dp[i][2] = dp[i-1][2] * a[i] + dp[i-1][1];

表示长度为 i 的含有49的数字的个数，它等于长度为 i - 1 满足条件的数字的个数*当前的数字，再加上长度为 i - 1 的不含有49并且最高位是9的数字的个数，因为这个时候，只要在高一位加上一个4就可以了，这样在最高的两位就组成了一个49。

然后我们可以从一个数的最高位开始枚举，首先要加上低一位满足条件数字的个数，如果当前位大于4，还要加上低一位最高位是9且不包含49的数字的个数，因为这种情况下只要我们把当前位设为4便可满足要求。

如果枚举位过程中已经遇到过49，则以后的枚举加上不含有49的数字个数，因为49已经出现过了，所以这样的组合依然满足题意。

AC代码：

#include <iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#include<algorithm>
#include<string.h>
typedef __int64 LL;

LL dp[21][3];
int a[21];
void init() //预处理长度为i位dp[i][]的值
{
dp[0][0]=1;
for(int i=1; i<21; i++)
{
dp[i][0]=dp[i-1][0]*10-dp[i-1][1];  //长度为 i 并且不含有49的数字的个数
dp[i][1]=dp[i-1][0];    //长度为 i 并且不含有49且高位是9的数字的个数
dp[i][2]=dp[i-1][2]*10+dp[i-1][1];  //长度为 i 并且含有49的数字的个数
}
}
void solve(LL n)
{
int len=0;
while(n)    //整数n分解每一位
{
a[++len]=n%10;
n/=10;
}
LL ans=0;
int last=0;
bool flag=false;
for(int i=len; i>0; i--)    //从最高位开始枚举
{
ans+=dp[i-1][2]*a[i];
if(flag)ans+=dp[i-1][0]*a[i];   //如果前面出现过49
if(!flag&&a[i]>4)ans+=dp[i-1][1];   //+[i-1]位数最高位为9并且不包含49的情况
if(last==4&&a[i]==9)    //如果出现了49
flag=true;
last=a[i];
}
printf("%I64d\n",ans);
}
int main()
{
int T;
init();
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
LL n;
scanf("%I64d",&n);
solve(n+1); //n+1可以避免数字末尾是49的时候出错
}
return 0;
}