一阶矩+二阶矩估计求解一个参数
2016-11-18 09:29
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一阶矩+二阶矩估计求解一个参数
@(概率论)一般来说,一个参数对应一个方程。所以在矩估计法中,用一阶矩就可以求解一元。但是有些情况下,只写一阶矩,原理上是可以求得解的,但是,初等代数中很难剥离出来,可以考虑再求一次二阶矩,即,再利用样本提供一组值,二者相互作用,可以求解出p.
值得注意的是,二者求得的实际解并不是完全一致,因为又一次用了矩估计,所以等于两次估计求解一元。这是可以接受的,因为如果是二元,我们也会求两次,不会说因为多了一次估计,就少了很多精度。
看一个例子。
设X1,X2,...,Xn是来自对数级数分布P(X=k)=−pkln(1−p)k,(0<p<1,k=0,1,2,...)的一个样本,求p的矩估计。
分析:这是问的非常直接的题目。上来就可以列式:
EX=∑k=1∞kP(X=k)=∑k=1∞−kpkln(1−p)k=−1ln(1−p)∑k=1∞pk=−1ln(1−p)⋅p1−p
令EX=1n∑ni=1Xi
很难从中抽出p的表达式。
而且还不能就写p就在这个表达式的关系中。
那么,可以考虑引入二阶矩。
EX2=∑k=1∞k2P(X=k)=∑k=1∞−k2pkln(1−p)k=−1ln(1−p)∑k=1∞kpk=−1ln(1−p)⋅p(1−p)2
令EX2=1n∑ni=1X2i
二式相除:
p̂ =1−X⎯⎯1n∑ni=1X2i
即为所求。也就是用样本的一阶矩和二阶矩构造了一元参数的估计量。这种思路是很值得借鉴的。
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