Codeforces Round #333 (Div. 2) E Kleofáš and the n-thlon

上课时间突然毒瘾发作，于是掏出笔记本切掉了这题，我好兴奋啊.jpg

题意：m个人进行n轮比赛，在每轮比赛中，所有人的得分是一个1~m的排列，最终得分是每一轮的分数之和。rank的定义是

得分严格小于你分数的人数+1。给出一个人在每一轮的得分，求他最终的期望rank。(n<=100,m<=1000)

首先注意到，直接求出某一个人的期望rank是非常困难的，而剩余的m-1个人是等价的，所以可以考虑求出其中某一个人的信息，进而推出答案。

很自然想到可以概率dp求出一个人最终得分小于你的得分的概率，然后乘上(m-1)就是分数小于你的人数期望，+1之后就是期望rank啦。

概率DP的状态是第now轮比赛后总分已经达到了score，记已经给出第now轮你的得分为ar[now]，那么其他人可以在这一轮获得1~m中不等于ar[now]的分数

dp[now][score]=∑i!=ar[now]dp[now−1][score−i]/(m−1)

状态数n*n*m,转移复杂度O(m)

之后注意到转移是一个求和的过程，所以可以用前缀和来处理，将转移优化到常数。

/* ***********************************************
Author        :axp
Created Time  :2016/11/17 10:48:44
TASK          :E.cpp
LANG          :C++
************************************************ */

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int inf = 1<<30;
const int md = 1e9+7;
const int N = 100+10;
const int M = 1e3+10;
int n,m;
int T;
int ar
;
double dp
[M*N];
double sum
[M*N];

int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
int al=0;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&ar[i]),al+=ar[i];
sum[0][0]=dp[0][0]=1;
for(int j=0;j<=m*n;j++)sum[0][j]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=i;j<=m*n;j++)
{
int t=max(j-m,0);
double p=sum[i-1][j-1];
if(t)p-=sum[i-1][t-1];
if(t<=j-ar[i] && j-ar[i]<=j-1)p-=dp[i-1][j-ar[i]];
dp[i][j]=p/(m-1);
//cout<<i<<' '<<j<<' '<<dp[i][j]<<endl;
sum[i][j]=sum[i][j-1]+dp[i][j];
}
}
double ans=0;
for(int i=0;i<al;i++)
ans+=dp
[i];
ans*=m-1;
ans+=1;
printf("%.11lf\n",ans);
return 0;
}

buff来源：

http://meopass.blog.163.com/blog/static/2583760592016101604317229/