Data Structure & Java: 堆、堆排序与PriorityQueue
2016-11-17 03:43
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堆的实质:
堆其实是一棵特殊的完全二叉树。每一个结点的值都大于或者等于左右孩子结点的值(大顶堆),或者每一个结点的值都小于等于左右孩子结点的值(小顶堆)。
对于完全二叉树,因为除了最后一层,其它的层都是满的。所以,一般对于平衡二叉树可以利用顺序存储结构(数组)。所以,对应完全二叉树的顺序存储结构:
数组的i(index = i)结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2【1】。
下面我们以小顶堆作为例子,讲述堆排序的原理:由于我们总能保证堆顶是最小值,所以,每次我们可以取堆顶元素出来加入结果数组,然后让堆自己调整,直到堆为空。
上述每次从堆顶取出元素的操作称为堆的删除操作。在删除堆顶元素前,需要考虑堆的插入:
首先把新元素放在数组的尾部。然后,进行siftUp(int k, Object e). 把新元素不断和父节点、父节点的父节点比较,直到其比新的父节点要大就可以停止了。否则,下移当前父节点,keep going.
删除堆元素则相反:首先把数组的尾部放在数组头,然后进行siftDown(int k, Object e). 把新元素不断和两个子节点中较小的子节点交换(注意,不同于父节点,子节点有两个,必须选最小的),一直到其比子节点大。这里有个特殊情况,假如k<(int)(size>>>1),也就是lowfloor(数组的长度/2),这是拥有子节点的父节点的index,是需要考虑下移的。但如果大于这个值,则是叶子节点,不需要下移。
这是因为完全二叉树的性质决定的,完全二叉树中,当前节点的父节点的Index是lowerfloor(n/2),n是当前节点的index。
所以,我们可以用这个方法实现一个Priority Queue:
复杂度分析:
综上所述,插入的复杂度是:O(log(n)),n是PriorityQueue,或者说是堆里面的元素个数,也就是完全二叉树的层数。而removeTop的话,则是constant取出,但siftDown会是O(log(n)). 所以,N个数,每个数调用一次removeTop,复杂度就是O(nlog(n)).
但如果是定点remove的话,参考:http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6709644的内容可知,有可能是上滤和下滤。上滤之后有可能会下滤,所以是O(n)的复杂度。
堆其实是一棵特殊的完全二叉树。每一个结点的值都大于或者等于左右孩子结点的值(大顶堆),或者每一个结点的值都小于等于左右孩子结点的值(小顶堆)。
对于完全二叉树,因为除了最后一层,其它的层都是满的。所以,一般对于平衡二叉树可以利用顺序存储结构(数组)。所以,对应完全二叉树的顺序存储结构:
数组的i(index = i)结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2【1】。
下面我们以小顶堆作为例子,讲述堆排序的原理:由于我们总能保证堆顶是最小值,所以,每次我们可以取堆顶元素出来加入结果数组,然后让堆自己调整,直到堆为空。
上述每次从堆顶取出元素的操作称为堆的删除操作。在删除堆顶元素前,需要考虑堆的插入:
首先把新元素放在数组的尾部。然后,进行siftUp(int k, Object e). 把新元素不断和父节点、父节点的父节点比较,直到其比新的父节点要大就可以停止了。否则,下移当前父节点,keep going.
删除堆元素则相反:首先把数组的尾部放在数组头,然后进行siftDown(int k, Object e). 把新元素不断和两个子节点中较小的子节点交换(注意,不同于父节点,子节点有两个,必须选最小的),一直到其比子节点大。这里有个特殊情况,假如k<(int)(size>>>1),也就是lowfloor(数组的长度/2),这是拥有子节点的父节点的index,是需要考虑下移的。但如果大于这个值,则是叶子节点,不需要下移。
这是因为完全二叉树的性质决定的,完全二叉树中,当前节点的父节点的Index是lowerfloor(n/2),n是当前节点的index。
所以,我们可以用这个方法实现一个Priority Queue:
import java.util.Arrays; public class PriorityQueue{ private static final int DEFALUT_SIZE = 10; private int[] elem; private int size; public PriorityQueue(int size){ if(size <= 0){ elem = new int[DEFALUT_SIZE]; }else{ elem = new int[size]; } size = 0; } public void add(int item){ int t = size; if(t >= elem.length){ this.grow(t+1); } size = t+1; if(t == 0){ elem[0] = item;//直接赋值 }else{ siftUp(t, item); } } public int removeTop() throws IndexOutOfBoundsException{ if(size == 0){ throw new IndexOutOfBoundsException(); } int return_val = elem[0]; int tmp = elem[size-1]; elem[size-1] = 0; size = size - 1; if(size > 0){ siftDown(0, tmp); } return return_val; } private void grow(int min_size){ //一般而言,java的算法是大于64的时候采用*3再除以2,也就是乘以1.5 //当小于64时,乘以2 int old_size = elem.length; int new_size = old_size > 64? old_size*3/2 : old_size*2; if(new_size < old_size){//整形数溢出了 new_size = Integer.MAX_VALUE;//这样获取整形数的最大值 } if(new_size < min_size){ new_size = min_size; } elem = Arrays.copyOf(elem, new_size); } private void siftUp(int k, int item){ while(k > 0){ int parent = (k-1) >>> 1;//注意是k-1 if(elem[parent] < item){ break; } /*否则,下沉父节点*/ elem[k] = elem[parent]; k = parent; } elem[k] = item; } private void siftDown(int k, int item){ int half = size >>> 1; int child = 0; while(k < half){ child = 2*k+1; if(elem[child] > elem[child+1]){ //取子节点最小值 child = child+1; } if(elem[k] < elem[child]){ break; } elem[k] = elem[child]; k = child; } elem[k] = item; } public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub } }
复杂度分析:
综上所述,插入的复杂度是:O(log(n)),n是PriorityQueue,或者说是堆里面的元素个数,也就是完全二叉树的层数。而removeTop的话,则是constant取出,但siftDown会是O(log(n)). 所以,N个数,每个数调用一次removeTop,复杂度就是O(nlog(n)).
但如果是定点remove的话,参考:http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6709644的内容可知,有可能是上滤和下滤。上滤之后有可能会下滤,所以是O(n)的复杂度。
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