【寒江雪】算法导论——最长公共子串

最长公共子序列问题
 C[i][j]表示字符串x<1,2,3,…i>与字符串y<1,2,3,…j>的最长公共子序列的长度
初始化
C[0][0]=0;
如果x[i]==y[j]       则c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
否则c[i][j]=max(c[i-1][j],c[i][j-1]);
 
假设有字符集x<1,2,3,4,5,…m>,y<1,2,3,4,5…n>,Z<1,2,3,4,5,…k>
如果有xm==yn，则zk=xm=yn意味着Zk-1是x和y的一个LCS
如果有xm!=yn,则zk!=xm意味着Z是xm-1和yn的一个LCS
如果有xm!=yn则zk!=yn意味着Z是xm和yn-1的一个LCS
证明：
1.     如果zk!=xm，那么可以将xm=yn追加到Z的末尾得到X和Y的一个长度为k+1的公共子序列，与Z是X和Y的LCS矛盾。因此必然有zk=xm=yn。这样前缀Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个长度为k-1的公共子序列(也就是说，把xm和yn以及zk都去掉后，剩下的字符串Zk-1与Xm-1和Yn-1，Zk-1即为Xm-1和Yn-1的一个公共子序列)，我们希望证明它是一个LCS。利用反证法，假设存在Xm-1和Yn-1的一个长度大于k-1的一个公共子序列W，则将xm和ym追加到W的末尾会得到X和Y的一个长度大于k的LCS
2.     如果xm!=yn，那么Z是Xm-1和Yn的一个公共子序列。如果存在Xm-1和Y的一个长度大于k的公共子序列W，那么Z是Xm-1和Yn的公共子序列，与Z是X和Y的最长公共子序列的假设矛盾。
3.     证明与2对称
 
代码实现：
     For(int i=1;i<=n;i++)
4000

            For(int j=1;j<=n;j++){
                   If(x[i]==y[j]){
       C[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
       B[i][j]=“左上角”;
}elseif(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){
       C[i][j]=c[i-1][j];
       B[i][j]=“上边”;
}else{
       C[i][j]=c[i][j-1];
       B[i][j]=“左边”;
}
    

}