BFS的辅助队列最小安全长度

本文仅对于搜索迷宫等完全矩形图的BFS搜索操作适用。

由于BFS搜索操作有一个o-c表（open-closed表）来判断是否搜索过，因此，这就预言了BFS所需要的QUENE的长度必然小于图中的实际节点总数（完全矩形图的节点总数恒不大于R*C）。基于QUENE的FIFO原理，对于一个标准图，我们可以很容易地证明：当S点，即起始点在图中间时，所需的QUENE的长度一般大于当S点位于图的边缘时的QUENE长度需求量。

再根据BFS的扩散模式，可以得知，当障碍物越少时，QUENE的需求长度越大，如下表a-1与a-2

4	3	2	3	4
3	2	1	2	3
#	#	S	1	2
3	2	1	2	3
4	3	2	3	4

a-1

10	11	12	#	4
9	10	#	2	3
8	#	S	1	2
7	6	#	2	3
6	5	4	3	4

a-2
模拟一个队列，可以得出，a-1图的队列长度远大于a-2图。

为了满足最坏情况，姑且令S位于（（R+1）/2，（C+1）/2），即图的中心，且图上无任何障碍。

Cmax=2(min(R,C)-max(R,C)%2)  (不完善)

该C 实质上是以S为中心的菱形的有效周长，当R==C时，该公式成立。

然而当R!=C时，如下图，



B-2 可以看成是B-1的所有节点进行过一次BFS操作后的状态，但是，显然B-2的队列内节点数比B-1内的节点数多2。

因此，我们定义σ(R,C) = { 0 , R!=C ||
max(R,C)%2 == 0 ;

{ 1 , R==C && max(R,C)%2 == 1 .

可得出结论：

Cmax=2(min(R,C)-σ(R,C) )

然而QUENE最小长度为Cmax时，可能会溢出，如下图所示：



很容易可以得知，C - 2 所需的QUENE 长度比公式计算出的要大
1！！！很可能会数据溢出！

经分析，当较小边，min(R,C)为偶数时，无图C所示的情况发生。

因此，我们定义 θ(BFS) = { 0 ， BFS 有限扩散方向与 min(R,C)相同 

  { 1 ， BFS
有限扩散方向与 min(R,C)不同

再定义一个函数 ξ(BFS,R,C)
= θ(BFS) * ( min(R,C) % 2 )

记Nmax为实际的QUENE需求量（最小的，且不会溢出的队列长度）。

则：

Nmax=Cmax
+ ξ(BFS,R,C) 

代入上列的各函数，展开得到：

Nmax=2[b](
min(R,C)-σ(R,C)[/b] [b])[/b]
+ θ(BFS) * ( min(R,C) % 2 )

并且，显然我们可以同理得到，对于任意状态的BFS，队列的最小长度是搜索达到最广程度时的状态数量（用循环数组维护）。