【noip2009提高组】 Hankson 的趣味题 欧几里得（数论）

题目描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现

在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现

在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公

倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整

数 x 满足：

1． x 和 a0 的最大公约数是 a1；

2． x 和 b0 的最小公倍数是 b1。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的

x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮

助他编程求解这个问题。

输入输出格式

输入格式：

第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每

行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入

数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。

输出格式：

输出文件 son.out 共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；

若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

输入输出样例

输入样例#1：

2

41 1 96 288

95 1 37 1776

输出样例#1：

6

2

说明

【说明】

第一组输入数据，x 可以是 9、18、36、72、144、288，共有 6 个。

第二组输入数据，x 可以是 48、1776，共有 2 个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且 n≤100。

对于 100%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。

NOIP 2009 提高组 第二题

题解：模拟赛的一道题，是noio2009年提高组的第二题。模拟赛是做了很长时间，很快做出了50分的暴力解法，疯狂优化优化，结果还是50分。

正解：loli说分解质因数，后来发现不需要这么麻烦。比较神的优化一下就可以A了。

lcm(x,b0)=x∗b0/gcd(x,b0)=b1

=>b1∗gcd(x,b0)=x∗b0

=>gcd(x,b0)=x∗b0/b1

=>gcd(b1/b0,b1/x)=1

然后就枚举b1的约数，暴力验证即可

枚举约数sqrt(n) 验证logn 这应该可以卡过。。。

然后考虑两个小优化：

1 当x%a1!=0时 即a1不是x的约数时，显然不对

2 可以考虑将gcd(x,a0)=a1化简为gcd(x/a1,a0/a1)=1 再配上 gcd(b1/b0,b1/x)=1 这个验证 应该会快很多

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
int a0,a1,b0,b1,sum,s1,s2,ans,n,ss2,ss1,ss,s;
int gcd(int a,int b)
{
if (b!=0) return gcd(b,a%b);
else return a;
}
int main()
{
freopen("son.in","r",stdin);
freopen("son.out","w",stdout);
int i,j,I,t,x;
scanf("%d",&n);
for (I=1;I<=n;I++)
{
ans=0;
scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
if (a0%a1!=0||b1%b0) {printf("0\n");continue;}
else
for (i=1;i*i<=b1;i++)
if (b1%i==0)
{
x=i;
if (x%a1==0)
if (gcd(a0/a1,x/a1)==1&&gcd(b1/b0,b1/x)==1) ans++;
x=b1/i;
if (x%a1==0&&x!=i)
if (gcd(a0/a1,x/a1)==1&&gcd(b1/b0,b1/x)==1) ans++;
}
printf("%d\n",ans);
}

}

附黄学长AC代码：

http://hzwer.com/4859.html

将b1的质因数分开考虑，然后用乘法原理计算方案

对于某个质因数x

设a0分解完得到c0个x，a1->c1，b0->c2，b1->c3，ans->t

那么依照题意，显然c0>=c1,c2<=c3

若c0>c1则t=c1

若c2 < c3则t=c3

则若c0=c1且c2=c3 方案*=c3-c1+1，注意判无解

若c0>c1且c2>c3时只有c1=c3时方案*=1

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<set>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
#define inf 1000000000
#define N 50000
#define ll long long
using namespace std;
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int n,tot;
int a0,b0,a1,b1,ans;
int pri[50005];
bool mark[50005];
void getpri()
{
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!mark[i])pri[++tot]=i;
for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<=N;j++)
{
mark[pri[j]*i]=1;
if(pri[j]%i==0)break;
}
}
}
void solve(int x)
{
int c0=0,c1=0,c2=0,c3=0;
while(a0%x==0){a0/=x;c0++;}
while(a1%x==0){a1/=x;c1++;}
while(b0%x==0){b0/=x;c2++;}
while(b1%x==0){b1/=x;c3++;}
if(c0==c1&&c2==c3)
{
if(c1<=c3)ans*=c3-c1+1;
else ans=0;
}
else if(c0!=c1&&c2!=c3&&c1!=c3)ans=0;
}
int main()
{
getpri();
n=read();
while(n--)
{
ans=1;
a0=read();a1=read();b0=read();b1=read();
for(int i=1;i<=tot;i++)
solve(pri[i]);
if(b1!=1)solve(b1);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}