前向后项差分和显式隐式欧拉法

摘要：

本文主要介绍前向后向差分，显式隐式欧拉法及其稳定性分析。

前向差分对应显式方法，后向差分对应隐式方法。显式欧拉法是比较流行的显式方法，隐式欧拉法是比较流行的隐式方法。

显式欧拉法条件稳定，对积分步长有要求，隐式欧拉法无条件稳定，对积分步长无要求（理论上如此，但实际使用中对积分步长仍然有要求，只是比显式欧拉宽松）。

1. 前向差分与后向差分

设一元函数函数y(t)离散化为一系列的点，y0,y1,...,yn,yn+1,yn+2,...，其中，yn=f(tn), tn=tn−1+h, 称h为步长。

1.1 前向差分（Forward Difference）

前向差分的定义：△yn≡yn+1−yn.

之所以称之为前向差分，是因为当前时刻的差分△yn，是下一时刻位置yn+1（时间向前前进一步）与当前时刻位置yn之差。

高阶前向差分

根据上式递归可得k阶前向差分公式为：△kyn=△k−1yn+1−△k−1yn.

例如，二阶前向差分公式为：

△2yn=△2n

　　　=△(△n)

　　　=△(yn+1−yn)

　　　=△n+1−△n

　　　=yn+2−2yn+1+yn

1.2 后向差分（Backward Difference）

后向差分定义：△yn≡yn−yn−1.

由定义可以看出，当前时刻的差分，是当前时刻的位置与前一时刻的位置之差。

高阶后向差分

同上，k阶后向差分公式为：△kyn=△k−1yn−△k−1yn−1.

因此，二阶后向差分公式为：△2yn=yn−2yn−1+yn−2.

1.3 差商和导数

差商就是差分除以步长，即，△ynh.

在数值计算中，需要以差商代替导数，即，y′n=△ynh.

如果使用前向差分，则为显式方法，例如，f′n=yn+1−ynh.

如果使用后向差分，则为隐式方法，例如，y′n=yn−yn−1h.

2. 显式欧拉和隐式欧拉

设有一阶常微分方程dydt=f′(t,y).很多时候我们无法求出函数y的解析解，只能通过数值方法逼近，即，将时间离散为一系列的点t0,t1,...,tn,tn+1,...其中，ti=ti−1+h. 我们要做的就是求函数y在这些离散的时间点上的值yn=y(tn).

2.1 显式欧拉（Explicit Euler）

显式欧拉公式：yn+1=yn+hf(tn,yn).

之所以称之为显式，是因为下一时刻的值yn+1，可根据当前时刻的值yn及其导数y′n 显式地给出。

另一种角度看上面的公式：从当前时刻出发，根据当前时刻的函数值及其导数，可得到下一时刻的值。因此显式欧拉法又称为前向欧拉（Forward Euler）

再从另一个角度看，我们把上面的公式做一下变形可得f(tn,yn)=yn+1−ynh. 即，显示欧拉就是用前向差商代替导数。

2.2 隐式欧拉（Implicit Euler）

隐式欧拉公式：yn=yn−1+hf(tn,yn).

之所以称之为隐式，是因为上式是一个隐式方程。

另一种角度看上面的公式：将上式做一下变形可得：yn−1=yn−hf(tn,yn).从当前时刻出发，根据当前时刻的函数值及其导数，可得到前一时刻函数的值。因此隐式欧拉法又称为后向欧拉（Backward Euler）

再从另一个角度看，我们把上面的公式做一下变形可得f(tn,yn)=yn−yn−1h. 即，显示欧拉就是用后向差商代替导数。

2.3 例证欧拉法的稳定性

设有一阶常微分方程dydt=−ay. 我们知道，这个常微分方程的解析解为y=e−at. 当t→∞时，y→0. 那么分别用显式、隐式欧拉法会得到什么呢？

1. 显式欧拉法条件稳定（Conditionally Stable）

根据显式欧拉法公式，

yn+1=yn+hf(tn,yn)=yn−ahyn=(1−ah)yn=(1−ah)2yn−1=...=(1−ah)n+1y0.

为了保证上式收敛，需要保证|(1−ah)|<1, 得，h<2a

即，为了保证显式欧拉的稳定性，需要保证时间步长h<2a，即，条件稳定.

2.隐式欧拉法无条件稳定（Unconditionally Stable）

根据隐式欧拉公式，yn+1=yn+hf(tn+1,yn+1)=yn−ahyn+1.

则，yn+1=yn1+ah.

又，a>0,h>0则1+ah恒大于1。即不管时间步长为多大，隐式欧拉始终稳定，即无条件稳定.

注意：实际应用中，隐式欧拉需要求解隐式方程，通常也是使用逼近的方法（例如，Newton-Raphson）求解，因此实际的隐式欧拉方法并不是无条件稳定的。

3.一般形式的稳定性分析，我目前还没有掌握。