扩展欧几里得定理

根据贝祖定理：如果a、b是正整数，那么存在两个整数s、t使等式gcd(a,b) = sa + tb成立。我们可以用扩展欧几里得定理来找到一组s和t。

如果我们找到了一组s和t使得x*a + y*b = gcd(a, b)， 那么这组s和t与下一组x1*b + y1*(a % b) = gcd(a, b)，这两组值有什么关系么？

我们知道： a % b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除），那么:

gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

= b*x1 + a*y1–(a/b)*b*y1

= a*y1 + b*(x1–a/b*y1)

所以我们得到 x = y1, y = x1 – a/b * y1;

考虑辗转相除法最后一步，找到最大公约数的时候，a = gcd, b = 0,这是有等式gcd = 1 * a + 0 * b成立，x = 1, y = 0；

所以我们有如下代码：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
int t, gcd;

if (!b)
{
x = 1;
y = 0;
return gcd;
}
gcd = exgcd(b, a%b, x, y);
t = x;
x = y;
y = t - a/b*y;
return gcd;
}

我们有了一组解后，通解可以用公式

x = x0 + (b / gcd) * t

y = y0 - (a / gcd) * t