The Theoretical Minimum - Interlude1

Table of Contents

1. 序曲一:空间,三角学和向量

1.1. 坐标

1.2. 三角学

1.3. 矢量

序曲一:空间,三角学和向量

“George,我们在哪里?”

George抽出地图并缓缓地把它铺在Lenny面前.”我们就在这里,Lenny,坐标是36.60709N,-121.618652W.”

“嗯? 什么是坐标,George?”

坐标

为了量化点的位置,我们需要一个坐标系统.构造一个坐标系统从选择空间中的一个原点开始.有时原点的选择可以使方程变的很简洁.例如,如果我们把原点取为除了原点外的其他地方的话,那么太阳系统的理论就会看起来更加复杂.严格地说,原点的位置是任意的,即可以放在任何一个地方,但是,原点的位置一旦选定,就不能变化了.

下一步是选择三个相互垂直的坐标轴.这里坐标轴的位置也是任意的,只要他们相互垂直就好. 这些轴通常被称为 x , (y) , 和 (z) ,但是我们也可以用 (x_{1}) ,(x_{2}) 和 (x_{3}) 表示. 这样一个坐标轴的系统叫做笛卡尔坐标, 如图1所示.



我们想描述空间中的一点, (P) . 它能够通过坐标轴的 (x) , (y) 和 (z) 分量进行定位. 换句话说,我们可以通过有序的数对 ((x,y,z)) 来识别出 (P) (如图2).



(x) 分量代表 (P) 到 (x=0) 这一平面(如图3)的垂直距离. (y) 和 (z) 分量也有类似的含义. 由于坐标分量代表着距离,因此他们以长度的单位度量,比如米.



当我们研究运动的时候,我们也需要记录时间. 这里,我们也从一个原点开始-时间为0. 我们可以选择大爆炸的时刻作为原点, 也可以选择耶稣诞生时作为原点,还可以仅仅是我们实验开始的时间. 但原点一旦选择了,就不能更改了.

下一步是选择时间的方向. 通常情况下,我们把未来的方向为看做正方向,而过去的为负. 当然还有其他的方法,但我们这里不会采用它们.

最后,我们需要时间的单位.秒是物理学家最熟悉的单位,当然小时和纳秒甚至年都是可以的. 只有我们选定了原点和单位,我们才能够使用一个数 (t) 来表示任意时间.

在经典物理中,有两个关于时间的隐含假设. 第一个是时间是均匀流逝的-即这一个一秒的时间间隔和另一个一秒间隔是完全相同的. 例如,一个物体从比萨斜塔自由下落,伽利略做这个实验的用的时间和我们今天做这个的所用的是同样长的. 过去的一秒和现在的一秒也是一样的.

另一个关于时间的假设是,不同位置的时间是可以比较的. 这意味着不同时刻的时钟是同步的. 有了这些假设, 四个坐标分量- (x,y,z,t) ,就定义了一个参考坐标系(reference frame). 这个参考坐标系中的任意事件都必须对其四个分量赋值来确定.

给定一个函数 (f(t) = t^{2}) , 我们可以画出它在坐标系中的点. 我们用一个轴表示时间 (t) , 另外一个表示函数, (f(t)) (如图4).



也可以把这些空间中的点连接起来(如图5).

三角学

如果你没有学过三角学,或者以前学过但现在有点模糊,那么这一节就是为你准备的.

在物理学中,我们会经常使用三角学.因此,你需要熟悉它的内容,符号和运算方法. 在物理学中,我们不经常用度数表示角度.我们用弧度(radian)来表示;当我们说 (2 \pi) 的时候是指360°, 或者1 radian = (\pi/180°) , 也就是说 90° = (\pi/2) radians, 30° = (\pi/6) radians. 因此1 radian大约57°(如图6).

三角函数是以右角来定义的. 图7给出了一个右角的示意图, 有它的斜边 (c) , 底边 (b), 和高度 (a) . 希腊字母 (\theta) ,表示和高度相对的角, 字母 (\phi) 表示和底边相对的角.





我们使用如下各个边之间的比例关系来定义定义函数 sine(sin), cosine(cos)和tangent(tan):

sinθ=ac

cosθ=bc

tanθ=ab=sinθcosθ.

我们可以使用图形表示这些函数的变化趋势(如图8~10).







关于三角函数这里有一些有用的性质.第一个是我们可以在一个圆内画一个三角,圆心位于笛卡尔坐标系的原点(如图11所以).



这里连接圆心到圆上任意一点的线是某个三角形的斜边,这一点的水平和垂直分量分别是这个三角形的底边和高.这个点的位置可以 (x) 和 (y) 的坐标给定,既

x=ccosθ

和

y=csinθ

这是一个关于右三角和圆非常有用的性质.

假设一个特定的角度 (\theta) ,它是某两个角 (\alpha) 和 (\beta) 的和或差, 既 (\theta = \alpha \pm \beta) . 那么 (\alpha \pm \beta) 的三角函数就可以用 (\alpha) 和 (\beta) 的三角函数来表示.

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ

cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ

最后,一个非常有用的公式是

sin2θ+cos2θ=1.

(注意这里的记号: (sin^{2}\theta = sin \theta sin \theta)). 这个公式是毕达哥拉斯定理的另一种形式.如果我们选择图11中的圆的半径为1, 那么边长 (a) 和 (b) 是角 θ 的正弦和余弦,并且斜边为1.上述方程 (a^{2}+b^{2} = c^{2}) 是等价的.

矢量

矢量的知识是另外一个我们假定你已经学过的数学知识. 但在这里还是简单的回顾一下三维空间中的矢量-这是我们最常用的.

一个矢量是空间中既有大小又有方向的量. 位移就是矢量的一个例子. 如果一个质点从某一个位置出发,只知道它移动的距离是不够的,还需要知道它移动的方向. 位移是矢量最简单的例子. 在图形中,矢量使用一个带有长度和方向的箭头表示,如图12.



矢量使用上面加箭头的符号表示. 因此位移的符号是 (\vec{r}) . 矢量的幅值或长度使用绝对值的符号表示. 因此位移的长度记为 (|\vec{r}|) .

对于矢量可以进行一些操作. 首先, 可以使用一个实数与矢量之相乘.当处理矢量的时候,你会经常看到这样的以标量命名的实数.乘以一个正实数仅仅是将矢量的长度增加几倍.当然,你也可以乘以一个负实数,这样会逆转矢量的方向.比如 (-2 \vec{r}) 是长度为向量 (\vec{r}) 两倍,方向与之相反的矢量.

矢量可以相加. 为了使矢量 (\vec{A}) 和 (\vec{B}) 相加, 可以使用如图13中的平行四边形法则. 两个矢量的和是以这两个矢量构成的平行四边形的对角.



如果矢量能够相加并且能被负的标量相乘,那么它们也可以做减法.

矢量也可以使用分量的形式表示.我们从相互垂直的坐标系 (x), (y) 和 (z) 开始. 下一步,我们在坐标轴上定义长度为单位长度的的单位矢量.这些沿着坐标轴的单位矢量被称为基矢量. 我们通常称这些基矢量为 (\hat{x}) , (\hat{y}) 和 (\hat{z}) (如图14), 其中符号”^”是基矢量的标志. 基矢量是有用的,因为任意的矢量都可以以如下方式写成以基矢量表示的形式:

V⃗ =Vxi^+Vyj^+Vzk^.



(V_{x}) , (V_{y}) 和 (V_{z}) 是将基矢量相加得到 (\vec{V}) 的系数. 它们也叫做 (\vec{V}) 的分量. 我们可以把上面的方程称为一个基矢量的一个线性组合. 矢量分量可以是正的或者负的. 我们也可是将矢量写成其分量列的形式- ((V_{x},V_{y},V_{z})) . 矢量的长度可以用其分量有三维的毕达哥拉斯定理得到.

|V⃗ |=V2x+v2y+V2z−−−−−−−−−−−−√

我们可以用一个标量 (\alpha) 乘以一个矢量,就等于将 (\alpha) 乘以矢量的每个分量.

αV⃗ =(αvx,αVy,αVz)

我们可以将两个向量的和写成分量的形式.

(A⃗ +B⃗ )x=(Ax+Bx)

(A⃗ +B⃗ )y=(Ay+By)

(A⃗ +B⃗ )z=(Az+Bz)

我们能对向量相乘吗? 可以,但是方法不止一种. 一种乘积的方式是叉乘,它得到另外的一个向量. 这里我们不考虑叉乘,只考录另外一种乘法-点积.点积的结果是一个普通的数,一个变量. 对于向量 (\vec{A}) 和 (\vec{B}) , 点积定义如下:

A⃗ ⋅B⃗ =|A⃗ ||B⃗ |cosθ

这里 θ 是两个向量之间的夹角. 用通俗的话来说,点积就是两个向量的幅值的积乘以它们夹角的余弦.

点积也可以使用分量的形式定义

A⃗ ⋅B⃗ =AxBx+AyBy+AzBz

这使得计算通过分量计算点积变得容易.

点积的一个重要的性质是正交性-既如果两个向量的点积为零. 请记住这一性质,因为以后我们会偶尔用到它来证明向量的正交性.