计算机中数值的表示方法

在进行编程算法的设计学习的时候，有一个问题是不可避免的，那就是数据类型的表示和其编码。因为要想使代码能够高效运行，就必然需要了解其特性。因此我又拿出了本科的《微机原理与接口技术》（姚琳等编著，清华大学出版社出版），重新学习一下数值的表示方法，并记录在此。

基本概念

1.编码

将非二进制形式表示的数值型数据转化为二进制形式表示，并最终实现在计算机的存储和处理的过程。

为什么需要进行编码这个问题就很简单了，因为计算机系统采用二进制表示和处理数据信息，所以计算机中的数值都需要二进制表示，字符就通过编码转化为二进制。

2.机器数与真值

一个数在计算机（机器）中的存储形式，称为机器数。、而这个以二进制形式表示的数的数值本身，称为该数的真值；真值的正负号用+和-表示的。而机器数的正负号使用0和1表示的。

机器数

机器数的表示位数受计算机系统的的数据位数限制。计算机系统为32位或者64位，则机器数也将是32位或者64位的。

举例

真值+52（十进制表示的真值） = +110100B（二进制形式的真值）

8位机器数：0011 0100 16位机器数：0000 0000 0011 0100

真值-52 = -110100

8位机器数：1011 0100 16位机器数：1000 0000 0011 0100

3.无符号数和有符号数

对于机器数，不需要考虑符号时，可以使用无符号数，这个时候，所有的二进制数位表示数的大小。这样，8位的二进制数能表示的最小数是0，最大值是2^8 -1 = 256 -1=255

对于需要政府特征的数，就用最高位表示符号，用剩余的低数码位表示绝对值，此时为带符号数。有符号数为了简化计算，又引入了下面的概念。

4.原码、反码、补码

当初学习这个的时候，没怎么搞清楚。其换算过程中变和不变比较难以理解记忆。

符号位数值位的确定

其实我们首先要注意的是，原码、反码、补码都是机器数的具体表现形式。这样它们都符合机器数的基本特点，就是最高位为符号位，0表示正数，1表示负数；其余位是数值位。数值位是原码、反码补码的不同之处。

原码的数值位 与真值的数值位相同；

反码的数值位 原码的数值位取反；

补码的数值位 正数的数值位与原码相同，负数的数值位为反码加1。

三者的关系



原码的特点是表示简单直观，与真值转换方便；不适合运算；

反码就是为了由原码计算补码方便；标准的过渡人！

补码的概念比较复杂，但是运算方便，所以主要用来运算。

下面再介绍一下补码的概念！

补码

先介绍一下 “模” 的概念

模是一个计数系统能够表示的数的最大容量，记为M。对于n位的计数系统，其模为 2^n。

这里特别注意的是，模的概念对应的是最大容量，也就是能放多少个数，而不是最大值！例如4位系统，最大值是 1111 = 15，其最大容量是2^4= 16。所以其模是16.

为什么要引入模这个概念呢？因为我们接着上面的问题继续看一下，就会发现模的一个有趣的特性，而补码就是由这个特性引出来的。

还是4位系统，最大值是15，此时加1，就是16了，二进制就是1 0000；而因为系统是4位的，在第5位的1将被舍弃，这样16在机器的实际存储是0000 = 0。这个有趣之处就是，2^n和0具有相同的表现形式。

对于补码的概念，我们考虑这样一个例子。

对于钟表，其模是12. 我们知道，对于钟表时针指向12时，我们将时针顺时针往前拨8个格，时针指向8；若逆时针拨4个格，时针也指向8. 也就是说 对于模为12 的系统中，加8和减4的效果是相同 的。那么这时候，8就是（-4）关于12 的补码。

基于补码的加减法

无符号位的加减法直接进行，没什么讨论的。

有符号数一般是以补码的形式进行，因为这样就可以将有符号数的运算转换成和无符号数那样简单—符号位和数值位都参与计算，获得的结果就包含了正确的符号位和数值位。

运算规则

[ X+Y ]（补码形式） = [ X ]（补码形式） + [ Y ]（补码形式）

[ X-Y ]（补码形式） = [ X ]（补码形式） + [ -Y ]（补码形式）