一道有意思的概率应用题

一道有意思的概率应用题

@(概率论)

在长为L的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差。

分析：这其实是具体化的均匀分布。即在线段上任取点，取的任何一点X的概率是：

fX(x)=1L

再任取另外一点Y,X和Y相互独立且同分布。

f(x,y)=fX(x)fY(y)=1L2

由此，我们再考虑以L的左端点为原点，右端点为(L,0)，即以线段作为x轴，建立坐标系。

距离Z = |X-Y|

问题转化为求EZ,DZ。

EZ=E|X−Y|

主要是思考如何求解绝对值型的期望。

注意是在二维下：

E|X−Y|=∫+∞−∞∫+∞−∞|x−y|f(x,y)dxdy

一般情况下用绝对值取0的分界线将积分区域一分为二即可。

因此，

E|X−Y|=∫L0dx∫x01L2(x−y)dy+∫L0dy∫y01L2(y−x)dx=L3

而D|X−Y|=E|X−Y|2−(E|X−Y|)2

E|X−Y|2=∫L0dx∫L01L2(x−y)2dy=L26

所以，D|X−Y|=L218