最后复习之最短路

有这么几种最短路算法：floyd、dijkstra、bellman-ford、spfa

一、floyd：

基本过程：枚举中间点，然后枚举起点和终点，用中间点去更新起点到终点的距离。

证明：用每个点去更新所有它能更新的点，是不是就是最短路了？（然而并不会证明）。

多源最短路、求最小环、判断负环、适合稠密图

求最小环：在求最大标号为n的最小环时，预习求出1-n-1的最短路，然后找出两个点i，j，使得i到j的距离（不会经过n，因为只求了1-n-1的最短路）加上i和j到n的距离的和最小，这就是要求的最小环。

判断负环：就是边求边判断，如果存在点到自己的距离小于0，那么就出现了负环。

模板题codevs 1557 热浪

//我的floyd只有70分，不知道floyd能不能ac这个题

for (int k=1;k<=n;k++)
for (int i=1;i<=n;i++)
if (i!=k)
for (int j=1;j<=n;j++)
if (j!=k&&j!=i)
g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k]

二、dijkstra：

基本过程：和上一篇的prim差不多，改变就是不再是到最小生成树的距离，而是到起点的距离，即每次找离起点最近的点放入最短路。

证明：对于新加进来的肯定不会有更短的路了，虽然对这个点只有在它之前求出最短路的来更新，但是在这个点之后进来的点一定不能更新这个点到起点的距离。

单源最短路、求最小环、判断负环、适合稠密图、不能处理带有负边权的图

求最小环：不断地删去某条边，求出删去之后这条边起点到终点的最短距离，再加上这条边的长度就是目前求的环的长度，求出最小的就行了。

判断负环：临时想出来的。。如果新进来的可以更新已经求出最短路的点的距离那么就存在负环。

for (int i=1;i<=n;i++)
{
int k=0;
for (int j=1;j<=n;j++)
if (!f[j]&&dis[j]<dis[k])
k=j;
f[k]=1;
for (int j=1;j<=n;j++)
if (!f[j]&&dis[j]>dis[k]+g[k][j])
dis[j]=dis[k]+g[k][j];
}

三、bellman-ford：

基本过程：进行n-1遍对所有边的松弛操作。

证明：每次至少将一条边变成最终松弛状态（就是不会再被用来松弛了）吧，然后图中最长的最短路长度为n-1。

单源最短路、求最小环、判负环、适合稀疏图

求最小环：和dijkstra差不多去删边。

判断负环：在求完最短路之后如果还有边可以松弛，那么就存在负环。

for (int i=1;i<=n-1;i++)
for (int j=1;j<=2*m;j++)
{
a=bian[j].from;b=bian[j].to;
dis=min(dis[b],dis[a]+bian[j].l);
}

[b]四、spfa：

基本过程：通过队列，不断地松弛一些边，因为这些边的终点到起点的距离变小了，那么这些终点连接的其他点也可能可以更新，所以把这些终点们加入队列，只要队列里还有点就要继续进行，直到队列为空方才求出最短路。

证明：只要可能能更新其他点的都进队了，现在队列空了，下面的事情。。。

单源最短路、求最小环、判断负环、适合稀疏图

求最小环：应该还是删边吧，另外附上一句上面求最小环除了floyd我都没有试过（~(≧▽≦)/~啦啦啦）。

判断负环：关于spfa判断负环我只会一个比较水方法，就是如果一个点进队次数超过n次那么就存在负环，至于为什么，我并不知道。

int head=1,tail=1;
memset(dis,127/2,sizeof(dis));
dui[1]=s;f[s]=1;dis[s]=0;
int a,b,len;
while (head<=tail)
{
a=dui[head];
len=bian[a].size();//bian是vector版本的邻接表。
for (int i=0;i<len;i++)
{
b=bian[a][i].to;
if (dis[b]>dis[a]+bian[a][i].l)
{
dis[b]=dis[a]+bian[a][i].l;
if (!f[b])
{
tail++;
dui[tail]=b;
f[b]=1;
}
}

}
head++;
f[a]=0;
}