【JZOJ4882】【NOIP2016提高A组集训第12场11.10】多段线性函数

题目描述

数据范围

解法

三分找出极值，两个二分找出极值的范围。

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const char* fin="linear.in";
const char* fout="linear.out";
const ll inf=0x7fffffff;
const ll maxn=100007,maxa=1000000007;
ll n,m,i,j,k,l,r,mid,mmid,tmp,tmd;
ll a[maxn][2];
ll count(ll v){
ll i,j,k=0;
for (i=1;i<=n;i++){
if (v>a[i][1]) k+=v-a[i][1];
else if (v<a[i][0]) k+=a[i][0]-v;
}
return k;
}
int main(){
freopen(fin,"r",stdin);
freopen(fout,"w",stdout);
scanf("%d",&n);
for (i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&a[i][0],&a[i][1]);
l=0;
r=maxa-1;
while (l<r){
mid=(l+r)/2;
mmid=(mid+r)/2;
if (mid==mmid){
break;
}
tmp=count(mid);
tmd=count(mmid);
if (tmp<tmd) r=mmid;
else if (tmp>tmd) l=mid;
else{
l=mid;
r=mmid;
}
}
k=l;
for (;l<=r;l++){
if (count(l)<count(k)) k=l;
}
tmp=count(k);
l=0;
r=k;
while (l<r){
mid=(l+r)/2;
if (count(mid)>tmp) l=mid+1;
else r=mid;
}
printf("%lld ",l);
l=k;
r=maxa-1;
while (l<r){
mid=(l+r+1)/2;
if (count(mid)>tmp) r=mid-1;
else l=mid;
}
printf("%lld\n",l);
return 0;
}

启发

三分时当l,r距离小于3时，就可以break了，随后，暴力求解。

比赛中我运用了演绎很快解决了题目。

即猜测f(y)具有三分性。

事实上这道题是可以分析出三分的：

首先预设O(maxa)的费用，将问题转化为某一个f(y)的值。

考虑答案贡献的来源，对于每一个xi，都有|xi-y|这样的贡献。

事实上随着y的增大，这些贡献会先减少，减少到0后增多。

设对于y到y+1的增量为delta，那么delta就是增量和-减量和。

显然，随着y的增大，增量会不断增加，减量会不断减少。

显然delta<0时，f(y)呈下降趋势；

delta=0时，f(y)呈平台；

delta>0时，f(y)呈上升趋势。

总体呈抛物平台状，满足三分性。

引入第二种类型的优化：单调优化；

具体表现为二分、三分等。

显然可以将预设的费用降到O(logmaxa)，再加上O(n)求答案。

总的时间复杂度为O(nlogmaxa)。