素数判定、埃氏筛法与整数分解

素数判定其实和数学里的判定没有过多的区别

只是要注意一定是i*i<=n 如果你用sqrt那玩意的话，可能会超时，具体是因为函数内部的实现和这个有点不同

这个大家应该都会，我这里就不献丑了

这里先说用vector去记录n的约数的方法（整数的分解）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

vector<int> divisor(int n)
{
vector<int > res;
for(int i=2;i*i<=n;i++)
{
if(n%i==0)
{
res.push_back(i);
if(i!=n/i) res.push_back(n/i);
}
}
return res;
}
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
int n;
cin>>n;
vector<int> s=divisor(n);
for(vector<int>::iterator ite=s.begin();ite!=s.end();ite++)
{
printf("%d ",*ite);
}
printf("\n");
return 0;
}

如果你要记每个约数出现的次数，可以这样子

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>

using namespace std;
map<int,int> prime_factor(int n)
{
map<int,int> res;
for(int i=2;i*i<=n;i++)
{
while(n%i==0)
{
res[i]++;
n/=i;
}
}
if(n!=1) res
=1;
return res;
}
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
int n;
cin>>n;
map<int,int> s=prime_factor(n);
for(map<int,int>::iterator ite=s.begin();ite!=s.end();ite++)
{
printf("%d ,%d \n",ite->first,ite->second);
}
//cout<<endl;
return 0;
}

这些在做题中不大常用 不过也很简单相信在考场上都能想出来

接下来着重谈一下埃氏筛法，它作用于求一个区间里的素数个数

这个算法很巧妙，反正要我这种人去想肯定想不出来。。。。

是这样的，对于1~n ，有1不是质数作为一个额外的情况去处理，从2开始，你如果依次删除2的倍数的话，发现最小的还剩下3，然后去删3的倍数，你发现最小的剩下5………….最后你发现，每一次删除的这个序列最开头的数一定是质数，而删除它以后最小的那个也一定是质数并且用于后续的删除。。。。。。。

为什么呢？因为你想啊，对于一个被删了数次后序列的首个数n，它一定不会被它以前的任何数整除，若有，它会被当做它的倍数删掉。如果一个数不被比它小的任何质数整除的话，它肯定是一个质数拉。于是简单地证明了埃氏筛法的合理性。

代码也很简单

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int maxn=1000001;
bool isprime[maxn]={0};
int res[maxn]={0};
int cnt(int n)
{
int ans=0;
int p=0;
fill(isprime,isprime+maxn,true);
isprime[0]=isprime[1]=false;

for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(isprime[i])
{
res[p++]=i;
isprime[i]=true;
}

for(int j=2*i;j<=n;j+=i)
{
isprime[j]=false;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(isprime[i]==true)
{
ans++;
}
}
return ans;
4000

}

int main()
{
freopen("prime.out","w",stdout);
std::ios::sync_with_stdio(false);
int n;
cin>>n;
int ans=0;
ans=cnt(n);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}

这个算法我个人认为很巧妙，在一些地方有实际的运用。