2012年全国高考数学（理）一道选择题解法和命题讨论

原题描述

正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝37。动点P从E出发沿直线EF运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为多少

背景讨论

原题是选择题，反射的最大次数数字有限，所以，从稳健解题的角度，一步一步用作图的方法是可以找到正确答案的。——但是，这是否命题的本意？从试题本身看，文科试卷最大次数选项少，作图可以考虑，但理科试卷作图次数则多，作图法花费时间太多；从标准答案看，应该也是不建议用作图法的。标准答案类似于鼓励找出 EF斜率的最简有理数形式，然后，碰撞次数是分子和分母之和的二倍。

因为是高考题，考试一过，就有很多研究者和爱好者蜂拥而上研究，提出了很多类似的解法和思路。但是，这种思路是有问题的。

问题分析

问题根源在于，这些看似巧妙的方法和思路，遇到类似下面的特例时会出错，还不如一步一步作图的“笨办法”可靠：





当年2012高考刚结束，跟浸会大学数学系的某位研究生同学探讨这题的解法时候，我注意到这个问题，写出了一般情况的解答方法，发现涉及不定方程整数解存在性的判别，从而作为“高考”数学命题有些超纲了。

——而如果考查逐步作图方法，正确答案仍然还是可以找到的。但从标准答案看，显然命题者的本意不是这样。



从而可以看出，这是一道命题本身的效果超出或脱离了命题者命题初衷的有些失败的题目。——公平说，能引起这么多人的兴趣，这道题的一般和特例形式本身是非常漂亮和有趣的，可惜它目前的形式似乎并不适合作为高考题出现。

而这道题背后的物理现象，其实在国外早就启发了一种用于交通安全方面的新型材料的诞生。——当我们乘车在高速公路上或高等级的城市道路上时，还经常能与利用这种物理现象的逆反射材料擦肩而过——，所以从这个角度看，这个数学问题背后的物理意义是值得深究的。但这里我就不深入讲了。

未来展望

高考命题本来应该是严肃的事情。命题者应该多方求证，由不同水平层次的验证者反复试做和探讨，以确保其不会传达错误的意图。试题本身，也应该独立于中学课题教学的经验和常识而逻辑上完美地存在。

出现这样的瑕疵，感觉目前的命题和验证把关的制度还是有缺陷的。

我这里不给出一般的解法，再列一个类似的特例，以飨爱好者——我是讨厌用作图法毫无区分性地考查做题的学生的，所以跟前面两道不同，这个用作图法工作量巨大：

补充

在我给出下面的简单例子的作图法求解之前，就连已经是大学数学系研究生的某同学——他对中学数学方面的各种竞赛题当然非常熟悉——也一直坚信 找到EF斜率的最简有理数形式，碰撞次数是分子和分母之和的二倍 是这类题一般形式的通用解法。可见，这道题命题出现问题并非偶然。