选择数字（动态规划+单调队列）

选择数字

题目描述：

给定一行n个非负整数a[1]..a
。现在你可以选择其中若干个数，但不能有超过k个连续的数字被选择。你的任务是使得选出的数字的和最大。

输入描述：

第一行两个整数n，k

以下n行，每行一个整数表示a[i]。

输出描述：

输出一个值表示答案。

样例输入：

5 2

1

2

3

4

5

样例输出：

12

数据范围及提示：

对于20%的数据，n <= 10

对于另外20%的数据， k = 1

对于60%的数据，n <= 1000

对于100%的数据，1 <= n <= 100000，1 <= k <= n，

0 <= 数字大小 <= 1,000,000,000

思路：

考虑动归，在第i点时，在i-k到i中肯定有一个点j不能选择，即：j为断点。

所以f[i]=max(f[i],f[j-1]+a[j+1]+a[j+2]……a[i])（i-k<=j<=i）

所以维护前缀和，然后方程就变成了

f[i]=max(f[i],f[j-1]+sum[i]-sum[j]) (i-k<=j<=i)

变形一下变成：f[i]=max(f[i],f[j-1]-sum[j])+sum[i] (i-k<=j<=i)

发现max里面的值只与j有关，所以可以用单调队列优化转移。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define lon long long
using namespace std;
const int maxn=100010;
lon n,k,a[maxn],s[maxn],f[maxn];
lon head,tail=1,d[maxn],q[maxn];
lon que(lon j)
{
d[j]=f[j-1]-s[j];
while(head<=tail&&d[q[tail]]<d[j]) tail--;
q[++tail]=j;
while(head<=tail&&q[head]<j-k) head++;
return d[q[head]];
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&k);
for(lon i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]),s[i]=s[i-1]+a[i];
for(lon i=1;i<=n;i++)
{
lon t=-10000000000;
/*for(lon j=i-k;j<=i;j++)
t=max(t,f[j-1]-s[j]);*/
f[i]=que(i)+s[i];
}
cout<<f
;
return 0;
}