【训练题】最短路径树 SPFA

【问题描述】

所谓最短路径树，就是从s出发，沿着树上的边走到任意点i，那么经过的这些边的权值和就是s到i的最短路径。Dijkstra算法或SPFA算法不仅可计算从起点s到各点的最短路径长度，同时也可得到以s为根的最短路径树。方法是在进行松弛操作时，如果d[i] + c < d[j] 时，除了更新d[j]之外，还要设置fa[j]=i。这样把fa[j]看成j的父亲指针，则所有点形成了一棵树（因为每个结点都有唯一的前驱）。这样要从起点s出发沿最短路走到任意点，只需要顺着树边走即可。

现在请你利用最短路径树解下面这个决问题：

n个城市用m条双向公路连接，使得任意两个城市都能直接或间接地连通。其中城市编号为1..n，公路编号为1..m。任意个两个城市间的货物运输会选择最短路径，把这n*(n-1)条最短路径的和记为S。

现在你来寻找关键公路r，公路r必须满足：当r堵塞之后，S的值会变大（如果r堵塞后使得城市u和v不可达，则S为无穷大）。

【输入格式】

第1行包含两个整数n,m，接下来的m行，每行用三个整数描述一条公路a,b,len（1<=a,b<=n），表示城市a和城市b之间的公路长度为len，这些公路依次编号为1..m。

【输出格式】

从小到大输出关键公路的编号。

【输入样例】

4 6
1 2 1
2 3 1
3 4 1
1 4 1
1 3 1
4 1 1

【输出样例】

1
2
3
5

【数据范围】

对于20%的数据，有n<=50，1<=m<=1000。

对于100%的数据，有n<=100，1<=m<=3000，1<=len<=10000。

【来源】

Mr_He原创

思路：循环枚举i，进行一次SPFA或Dij，计算i到各点的最短路径时用fa[j]记录最短路径树上j点与它的父亲的边的id，得到以i为根的最短路径树。

在循环遍历每个节点的fa（即最短路径树上的边），标记该边再从i进行SPFA或Dij算最短路径和，与原来的路径和比较再标记。

代码：

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;

const int maxn=105;
const int maxm=3005;
const int inf=200000000;

vector<int>g[maxn],w[maxn],idx[maxn];
int n,m,d[maxn],fa[maxn],vis[maxn]={0},q[maxn*maxn];
bool mark[maxm]={0};

void init()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
g[x].push_back(y);
w[x].push_back(z);
idx[x].push_back(i);
g[y].push_back(x);
w[y].push_back(z);
idx[y].push_back(i);
}
}

void initial()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
d[i]=inf;
}
}

void SPFA1(int x)
{
int front=0,root=0;
q[root++]=x;
vis[x]=1;
d[x]=0;
while(front!=root)
{
int i=q[front++];
vis[i]=0;
for(int k=0;k<g[i].size();k++)
{
int j=g[i][k],c=w[i][k],z=idx[i][k];
if(d[i]+c>=d[j]) continue;
d[j]=d[i]+c;
fa[j]=z;
if(vis[j]) continue;
q[root++]=j;
vis[j]=1;
}
}
}

void SPFA2(int x,int y)
{
int front=0,root=0;
q[root++]=x;
vis[x]=1;
d[x]=0;
while(front!=root)
{
int i=q[front++];
vis[i]=0;
for(int k=0;k<g[i].size();k++)
{
int j=g[i][k],c=w[i][k],z=idx[i][k];
if(d[i]+c>=d[j]) continue;
if(z==y) continue;
d[j]=d[i]+c;
if(vis[j]) continue;
q[root++]=j;
vis[j]=1;
}
}
}

int main()
{
init();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
initial();
fa[i]=0;
SPFA1(i);
int s=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
s+=d[j];
}
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(fa[j] && !mark[fa[j]])
{
initial();
SPFA2(i,fa[j]);
int tmp=0;
for(int k=1;k<=n;k++)
{
tmp+=d[k];
}
if(tmp>s) mark[fa[j]]=1;
}
}
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
if(mark[i])
{
printf("%d\n",i);
}
}
return 0;
}