01背包问题的动态规划算法、蛮力法和空间优化算法

算法思想：

（1）、动态规划算法：解决背包物品价值最大化问题的最优解，是建立在每一个子问题的最优解的前提下完成的。设Value[i,j]表示的是i个物品放进背包容量为j的背包的价值，令i从0增至n（物品总数量），j从0增至c（背包总容量）。Value[n,c]就是我们要的背包价值最大化的解。为了得到这个解必须要把之前的都解决，每一个问题的最优解的算法又根据以下确定：

当物品重量w小于背包体积j时，此物品不放进背包，价值与上一次价值相同；当物品重量w不小于背包体积j时，此物品是否放进背包，取决于Value[i-1,j]和Value[i-1,j-w]+v的大小。写成表达式则为以下内容：

                          Value[i-1,j]       weight[i]<j

 

Value[i,j]

 

                        Max(Value[i-1,j],Value[i-1,j-w[i]]+v[i])      weight[i]>=j

 

而这个表达式的约束条件就是当物品数量为0（i=0）时和背包容量为0（j=0）时，最大价值为0。

而要得出背包中放了什么物品也可以根据Value[i,j]是否和Vlaue[i-1,j]相同，如果相同则表示此物品没有放进背包，上一个物品就是第j列；如果不同则放进，而继续寻找上一个的物品的时候，因为本次的坐标来源于j-w[i],所以求出上一个物品的坐标就是用本次坐标+w[i]。

 

 

（2）、空间优化算法：动态规划法的空间复杂度为O（nw），现将空间复杂度优化到O（w）。我使用的方法为建立一个新的一维数组V[w+1]，此数组与上述动态规划的Value数组不同的是只用于记录上一行的价值，如当我需要求第i行的价值的时候，v数组中存放的是第i-1行的价值。然后从后往前（背包容量从c到0）计算价值、覆盖数组，因为每一次计算背包容量j大小的价值可能会用到j-w的价值，如果从前往后计算的话则数组已被更新，所以要从后往前计算。计算价值的方法也是和上面大致相同：如果物品体积w小于背包容量j，则判断V
[j]和V[j-w]+v的大小;如果大于背包容量，则放不进去，V[j]价值不变。

写成表达式如下：

                          V[j]       weight[i]<j

 

V[j]

 

                        Max(V[j],V[j-w[i]]+value[i])      weight[i]>=j

 

由于使用一维数组的方法，内容还一直被覆盖，所以无法得出背包中具体有哪些物品。

 

 

 

（3）、穷举法：用于验证动态规划方法是否正确。以n=4为例，创建一个v[4]的数组，用0和1表示第i个物品是否放进背包，如0001表示只有第四个物品放进背包。然后数组从0000~1111，计算每次摆放的重量以及价值。如果重量小于背包重量，且价值大于当前最大价值，则记录当前的最大价值以及数组。原理是这样在实施的时候为了记录背包的解，将0000和1111看成0和15的二进制形式，所以让i从0到15进行增长，每次将i转换成二进制格式放进数组中，这样做就可以记录最大价值时的i，转换成二进制则可获得具体物品。

伪代码如下：

For i 0~2n-1

  Coverbin( i )    //将i转化成二进制

  For j 0~n     

If  bin[j]==1   //如果第j个物品被放进去，就加上其价值和重量

   Sumweigh+=weigh[j]

   Sumvalue+=value[j]

  If Sumweigh <=c &&Sumvalue>Maxvalue  //如果总重量小于背包体积且价值最大

      Maxvalue=Sumvalue

      Flag=i

//若要获得背包内的物品直接将flag转成二进制即可

代码如下：#include <iostream>
#include <cmath>
#include <ctime>
using namespace std;
int maxvalue(int a,int b);//返回价值大的
void bag(int x[],int i,int j);//计算包内物品
int priority(int n,int w);//空间优化算法
void violent(int n,int w);//蛮力法
void conversion(int x,int b[]);//将int转化成二进制
int a[50000][50000];//二维数组
int *heavy=new int [100000];//物品重量
int *v=new int [100000];//物品价值
int max=0;

int main()
{
int n,w;
cout<<"请输入物品数量n和背包大小w： ";
cin>>n>>w;

int i,j;
for(i=1;i<=n;i++)
{
heavy[i]=(rand()%w)+1;
v[i]=(rand()%w)+1; //随机生成物品重量和价值
// cout<<heavy[i]<<" "<<v[i]<<endl;
}

for(i=0;i<=w;i++)
a[0][i]=0;
for(i=0;i<=n;i++)
a[i][0]=0; //将二维数组i=0和j=0的情况都填0
clock_t start, end;
start = clock();//开始计时
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=w;j++)
{
if(heavy[i]>j) //如果重量比容量j大，就不放了
a[i][j]=a[i-1][j];
else //能放进去
{
int k=j-heavy[i];

a[i][j]=maxvalue(a[i-1][j],(a[i-1][k]+v[i]));

}
}
}
end = clock();//结束计时
/* for(i=0;i<=n;i++)
{ for(j=0;j<=w;j++)
cout<<a[i][j]<<" ";//输出二维数组表
cout<<endl;
}*/

int *x=new int [n+1];
for(i=1;i<=n;i++)
x[i]=0;
bag(x,n,w); //求包内的物品编号
cout<<"最大价值为："<<a
[w]<<endl;
cout<<"能放进背包的物品编号是： ";
for(i=1;i<=n;i++)
if(x[i]==1)
cout<<i<<" ";
cout<<endl;
cout<<"运行的时间是(s)： ";
cout<<(double)(end - start) / (CLOCKS_PER_SEC)<<"s "<<endl;

cout<<endl;
cout<<"使用一维数组得出最大的价值为：";
for(i=1;i<=n;i++)
x[i]=0;
cout<<priority(n,w)<<endl;
cout<<endl;

violent(n,w);
cout<<"使用蛮力法得出的最大价值为：";
cout<<max<<endl;
return 0;
}

int maxvalue(int a,int b)
{
if(a<b)
return b;
else
return a;
}

void bag(int x[],int i,int j)
{
if(i<0)
return ;
if(a[i][j]==a[i-1][j]) //如果和上一列的数字相同，则表示该物品没放
bag(x,i-1,j);
else //和上一列的不同
{
x[i]=1;//该物品放进去了
bag(x,i-1,j-heavy[i]);//继续找上一个物品是否放进去了
}
}

int priority(int n,int w)
{
int i,j;
int *bag=new int [w+1];//数组用于保存上一行的数据
for(i=0;i<w+1;i++)
bag[i]=0;//第一行先置0
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=w;j>=heavy[i];j--)//从后往前判断，当背包容量大于物品重量
{
if(bag[j]<bag[j-heavy[i]]+v[i])//两个价值谁大填哪个
bag[j]=bag[j-heavy[i]]+v[i];
}
int end=bag[w];//最大价值就是数组最后一个
return end;
}

void violent(int n,int w)
{
int i,j,sumw,sumv,flag=0;
int bin[10];
for(i=0;i<pow(2,n);i++)//n等于4的话，二进制从0000~1111即0~15
{
for(j=1;j<=n;j++)
bin[j]=0; //初始化数组
conversion(i,bin);//转换成二级制
sumw=0;
sumv=0;
for(j=1;j<=n;j++)
if(bin[j]==1)//如果放了这个物品
{
sumw=sumw+heavy[j];
sumv=sumv+v[j]; //重量相加，价值相加
}
if(sumw<=w)
if(sumv>max) //当总重量小于背包重量且价值大于当前最大价值时
{
max=sumv; //记录最大价值
flag=i; //记录当前i
}
}
for(j=1;j<=n;j++)
bin[j]=0;
conversion(flag,bin); //将最大价值的i转换成二进制，得出背包物品编号
cout<<"能放进背包的物品编号是： ";
for(j=1;j<=n;j++)
if(bin[j]==1)
cout<<j<<" ";
cout<<endl;
}

void conversion(int x,int b[]) //转化成二进制
{
int i;
for(i=1;;i++)
{
b[i]=x%2;
x=x/2;
if(x==0)
break;
}
}