计算机中的原码、反码、补码分析

今天给学生上数字逻辑第一节课，主要讲了数制，后面简单提及了原码、反码和补码，碰到了两个问题：第一，十进制数转八进制数，学生练习时卡壳，不知道无从下手；第二，原本以为原码、反码、补码应该是一年级甚至中学时就应该解决的问题，实际上原来根本不是这么回事。中学老师即使讲过，估计也是对付考试的方式简单提及，并未从本质上进行讲解（那时候他们忙着对付高考，哪有闲工夫讲这些题外的知识）。

真值

首先，我们明白计算机中的数都是用二进制表示的，如3用二进制表示为：

(3)10 = (11)2

那如果-3呢？

显然，最直接的办法是用0或1来表示符号。很自然的，我们可以在数值前加符号位来表示，用0表示正数，用1表示负数。为了描述方便，我们后面统一用8位字长来举例描述，如：

(3)10 = (00000011)2

(-3)10 = (10000011)2

对于8位二进制数，原码的表示范围是：[(11111111)2, (01111111)2]，即[-127, 127].

从直觉上，貌似已经解决了正负数的表示问题。但是，问题来了，第一个问题是：0的表示不唯一（计算机的准确性和唯一性遭遇挑战）：

0 = (+0)10 = (00000000)2

=(-0)10 = (10000000)2

随之而来的是第二个问题，如3-5如何处理？如果用二进制的减法规则

(00000011)2 - (00000101)2 = (11111110)2 (原码中(11111110)2 = (-126)10)

如果按照3-5=3+（-5），则

(00000011)2 - (10000101)2 = (10001000) 2 = (-8)10

也就是说，不论按照原码的减法和原码的加法计算，我们不仅没有得到正确的结果，而且两种方式得到的结果还不一致。在计算机中，为了降低电路设计的复杂性，所有的减法都是按照加法来计算的，但是从上面的结果看，这些结果无疑都是错误的；并且0有两种表示方法，这就给计算中带来了困难，在计算时到底是用+0还是用-0？计算过程中的本质问题是：符号位参与计算，不可避免地会导致计算错误，即原码中的符号位是无法参与计算的。

正确的做法应该是：如果用原码计算减法操作，我们需要先判断谁的绝对值大，如果被减数的绝对值大，则计算结果的符号位为0，反之则为1，结果中的数值应该是用绝对值大得减去绝对值小的即为正确结果。如3-5的计算过程应该是：由于3<5,所以结果为负，符号位为1,5-3=2，所以结果为-2。如果是这样的计算过程，计算机应该设计绝对值比较电路，并且设计减法电路。很显然，这会极大地增加电路设计的成本，并且增加运行中的功耗。

反码

为了应对原码计算中的问题，有人发现反码可以解决一些问题。首先，我们看反码的定义：

正数的反码与原码一样，负数的反码为：符号位取1，数值部分按位取反。

如-5可表示为(11111010)2。 这样，上例中的计算似乎可以顺利解决了

3 - 5 = 3 + (-5) = (00000011)2 + (11111010)2 = (11111101) 2 = (-2)10，结果正确，ok了吗？

那我们再看下面一个例子：-3 - 5 = -3 + （-5）

-3 + (-5) = (11111100)2 + (11111010)2 = (11110110)2 = -9

其结果显然是错误的，即当符号位存在进位时，其结果不正确。那结果是否可以修正呢？还是看-3 + （-5），我们看其演化过程，如果符号位的进位不丢掉，则结果为：

-3 + (-5) = (11111100)2 - (11111010)2 = (111110110)2

如果此时，我们将符号位进位加到最后一位，这结果变为(11110111)2=-8。也就是说，反码运算允许符号位参与运算，但是，当符号位存在进位时，我们需要对符号位进行修正，将进位加到计算结果的最后一位，修正得到正确结果。但是，这样同样需要设计判断符号位是否存在的电路？

另外，在反码中，也没有解决0=+0=-0的二义性问题。

补码

为此，又有人根据模运行的规律，提出了补码的规则。首先，我们看补码的定义是什么？

正数的补码与原码相同，负数的补码为：符号位取1，数值部分为真值取反，然后再加1，即[Y]补=2n+Y，这里Y是整数, 2n为模M

如-3=(11111101)2, 0=-0=(11111111+1)2=(00000000)2 = +0，即对于0的问题，补码将+0和-0统一起来了，解决了关于0的二义性问题。

接着我们看3-5和-3-5两个计算的问题

3-5=3+(-5)= (00000011)2 + (11111011)2 = (11111110)2 = -2

-3-5=(11111101)2 + (11111011)2 = (11111000)2 = -8

即补码中的符号位参与运算，完美地解决了原码中和补码中存在的问题。那为什么补码能正确解决这些问题呢？下面我们给出一般的证明。

为什么补码能正确进行计算

要证明补码为什么能正确进行加法运算，其实需要证明：[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补

证明：

1）若X > 0, Y > 0, 这X+Y > 0,且X=[X]补, Y = [Y]补,所以[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补；

2）若X > 0, Y < 0, 则X=[X]补， [Y]补=M+Y(mod M)，所以[X]补 + [Y]补=M+X+Y，这里需要讨论两种情况：a）若X+Y>=0, 则M可舍掉， [X]补 + [Y]补 = M+X+Y = [X+Y]补;b）若X+Y < 0,由补码定义， [X]补 + [Y]补 = M+X+Y = [X+Y]补

3）若X < 0, Y > 0, 同2）

4）若X < 0, Y < 0, 则X+Y < 0. [X]补 = M + X (mod M), [Y]补 = M + Y (mod M), [X]补+[Y]补= M + X + M + Y = M + (M + X + Y) = M + [X+Y]补 = [X + Y]补(mod M)

后面这段证明，感兴趣的童鞋要好好体会，这个才是正确理解补码运算的关键。