【BZOJ 1010】【HNOI2008】玩具装箱toy 【斜率优化】
2016-11-10 17:04
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Description
P教授要去看奥运,但是他舍不下他的玩具,于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩,其可以将任意物品变成一堆,再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具,第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理,P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具,那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物,形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中,那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关,根据教授研究,
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目,他可以制作出任意长度的容
器,甚至超过L。但他希望费用最小.
Input
第一行输入两个整数N,L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7Output
输出最小费用Sample Input
5 43
4
2
1
4
Sample Output
1看到题后很容易想到O(n2)的 算法。
dp[i]:考虑到i的最优答案
sum[i]:前缀和
容易得出DP方程为
dp[i]=min(dp[i],dp[j]+(i−j−1+sum[i]−sum[j]−L)2)|1<=j<i
如果就按照这个递推方程写的话那么就会TLE。
这里用到了一种称为斜率优化的dp优化技巧。
令 f[i]=sum[i]+i,C=1+L
则 dp[i]=min(dp[j]+(f[i]−f[j]−c)2)
证明决策单调性[1]
假设在状态i处的k决策优于j决策,即dp[k]+(f[i]−f[k]−c)2<=dp[j]+(f[i]−f[j]−c)2
则对于i后的所有状态t,要证明决策单调性
即dp[k]+(f[t]−f[k]−c)2<=dp[j]+(f[t]−f[j]−c)2
只要证
dp[k]+(f[i]+v−f[k]−c)2<=dp[j]+(f[i]+v−f[j]−c)2
只要证
dp[k]+(f[i]−f[k]−c)2+2∗v∗(f[i]−f[k]−c)+v2<=dp[j]+(f[i]−f[j]−c)2+2∗v∗(f[i]−f[j]−c)+v2
只要证
2∗v∗(f[i]−f[k]−c)<=2∗v∗(f[i]−f[j]−c)
即f[k]>=f[j](显然)
证毕。
求斜率方程
因为dp[k]+(f[i]−f[k]−c)2<=dp[j]+(f[i]−f[j]−c)2展开
dp[k]+f[i]2−2∗f[i]∗(f[k]+c)+(f[k]+c)2<=dp[j]+f[i]2−2∗f[i]∗(f[j]+c)+(f[j]+c)2
即
dp[k]−2∗f[i]∗(f[k]+c)+(f[k]+c)2<=dp[j]−2∗f[i]∗(f[j]+c)+(f[j]+c)2
即(dp[k]−dp[j]+(f[k]+c)2−(f[j]+c)2)/2∗(f[k]−f[j])<=f[i]
f[i]是单调递增的,我们使用队列维护一个下凸壳,每次取出队头作为决策
加入决策i时,令队尾为q[r],前一个为q[r-1]
满足斜率(q[r],i)<斜率(q[r-1],q[r])时,显然队尾是无效的,将其弹出
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 50005 int n,L;typedef long long ll; ll dp ,f ,que ,C; double slope(int x,int y){ return (dp[x]-dp[y]+(f[x]+C)*(f[x]+C)-(f[y]+C)*(f[y]+C))/(2.0*(f[x]-f[y])); } int main(){ scanf("%d%d",&n,&L);C = L+1; for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&f[i]),f[i]+=f[i-1]; for(int i=1;i<=n;f[i]+=i,i++); int front = 0,tail = 0; for(int i=1;i<=n;i++){ while(front<tail&&slope(que[front],que[front+1])<f[i])front++; dp[i] = dp[que[front]]+(f[i]-f[que[front]]-C)*(f[i]-f[que[front]]-C); while(front<tail&&slope(que[tail-1],que[tail])>slope(que[tail],i))tail--; que[++tail]=i; } printf("%lld",dp ); return 0; }
orz.slope()函数里面的+打成了*结果我静态查错看了好久没看出来..
这份代码太丑不能看orz..
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 50005 int n,L;typedef long long ll; ll dp ,f ,que ,C; /*double slope(int x,int y){ return (dp[x]-dp[y]+(f[x]+C)*(f[x]+C)-(f[y]+C)*(f[y]*C))/(2.0*(f[x]-f[y])); }*/ double slope(int a,int b){ return (dp[a]-dp[b]+(f[a]+C)*(f[a]+C)-(f[b]+C)*(f[b]+C))/(2.0*(f[a]-f[b])); } int main(){ scanf("%d%d",&n,&L);C = L+1; for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&f[i]),f[i]+=f[i-1]; for(int i=1;i<=n;f[i]+=i,i++); int front = 0,tail = 0; for(int i=1;i<=n;i++){ //#define DBG #ifdef DBG cout<<i<<"->Slope :" <<slope(que[front],que[front+1])<<endl; #endif while(front<tail&&slope(que[front],que[front+1])<f[i]){ front++; #ifdef DBG cout<<"HeadChanged:"<<front<<endl; #endif } dp[i] = dp[que[front]]+(f[i]-f[que[front]]-C)*(f[i]-f[que[front]]-C); #ifdef DBG cout<<"dp["<<i<<"]:"<<dp[i]<<endl; #endif while(front<tail&&slope(que[tail-1],que[tail])>slope(que[tail],i)){ tail--; #ifdef DBG cout<<"TailChanged:"<<tail<<endl; #endif } que[++tail]=i; #ifdef DBG cout<<"QueueBegin"<<endl; for(int i=front;i<=tail;i++) cout<<que[i]<<" "; cout<<"End"<<endl; #endif } printf("%lld",dp ); return 0; }
Reference:
[1] http://hzwer.com/2114.html[2] http://blog.csdn.net/The_useless/article/details/53044311
[3] JSOI2009集训队论文《用单调性优化动态规划》[Page10]里的论文题
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