二维联合分布(X,Y)求(U,V)
2016-11-09 12:41
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二维联合分布(X,Y)求(U,V)
@(概率论)问:从F(x,y)是否可以求得f(x,y)? 是不是只有相互独立时,由f(x,y)=fX(x)fY(y)得到。
其中,
fX(x)=F′X(x),而FX(x)=limy→∞F(x,y)
fY(y)=F′Y(y),而FY(y)=limx→∞F(x,y)
这次主要总结的是:已经知道(X,Y)的二维联合分布,如何求得:(U,V)的联合分布,其中U=g1(X,Y),V=g2(X,Y)
方法是:
F(u,v)=P(g1(X,Y)≤u,g2(X,Y)≤v)=∫∫g1(x,y)≤u,g2(x,y)≤vf(x,y)dxdy
看一道习题的解法。
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为:
f(x,y)={4xy,0,0<x<1,0<y<1,其他
求二维随机变量(X2,Y2)的概率密度。
分析:首先需要明确的是X,Y是否相互独立,如果不独立该怎么办?
计算fX(x),fY(y)
公式是:
fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy
fY(y)=∫+∞−∞f(x,y)dx
表示的是求x时,y要取遍所有的值。
求y时,x要取遍所有的值。
而当题中已经给了x,y的取值范围时,要特别注意取遍所有值的含义。如果还是死代公式,用的是无穷大来解,但忽视了对应的取值,将会出现错误。
我们看:
fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy=∫104xydy=2x
仔细想想为什么这样?其实过程是:
fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy=∫0−∞0dy+∫104xydy+∫+∞10dy=∫104xydy=2x
同理,
fY(y)=∫+∞−∞f(x,y)dx=∫0−∞0dx+∫104xydx+∫+∞10dx=∫104xydx=2y
很容易看出f(x,y)=fX(x)fY(y)
即:X,Y相互独立。
也因此可知X2,Y2相互独立。
则不妨令U=X2,V=Y2
f(u,v)=fU(u)fV(v)
F(u,v)=FU(u)FV(v)
到这里可以用两种方法解:
公式法
定义法
其中公式法我基本不用,导致看到别人用公式法写还莫名其妙,这里先总结定义法,以回答验证开始提的问题。
定义法
F(U,V)=P(U≤u,V≤v)=P(X2≤u,Y2≤v),0<u<1,0<v<1=P(0<X≤u√,0<Y≤v√)=∫u√0dx∫v√04xydy=uv,0<u<1,0<v<1接着就可以求出边缘分布:
F(u,v)=FU(u)FV(v)=uv
→FU(u)=u,FV(v)=v
因此,fU(u)=1,fV(v)=1
注: 一般FX(x)=F(x,+∞),表示另一个变量取遍所有值,这个在这里如何应用没有看太明白。也即,如果直接代入F(u,+∞)求FU(u)=u⋅+∞显然是不正确的,正确的理解应该是,取遍v的所有值,那么也就意味着取v的最大值,即v→1,即:FU(u)=F(u,1)=u。
这是最准确的解释。
一般课本给出的是x>0,y>0这样,用
FX(x)=F(x,+∞)
FY(x)=F(+∞,y)
是因为x和y最大都能取到无穷大。
我们知道分布函数是累积的,所有,意思还是在于取的最大值。但是因为举的例子不是有限区间,所以导致问题不清。这里恰好是有限区间,特别记录说明。
这在上面求边缘密度函数时也用到过,即,特别注意取无穷大是什么意思,取遍所有取值对于有限区间的具体落实又是怎样的,特别需要小心,因为上下限是什么对结果取值至关重要。
从而:
f(u,v)={1,0,0<u<1,0<v<1其他
公式法
首先是看定理:设随机变量X具有概率密度fX(x),−∞<x<∞,又设函数g(x)处处可导且g′(x)≠0,则Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度为:
fY(y)=⎧⎩⎨⎪⎪fX(h(y)|h′(y)|,0,α<y<β其他
其中,α=min(g(−∞),g(∞)), β=max(g(−∞),g(∞)), h(y)是g(x)的反函数。
用到这里来就是:
fU(u)=fX(h(u))|h′(u)|,0<u<1
其中h(u)是u=x2的反函数h(u)=u√。
因此:fU(u)=2u√⋅12u√=1,0<u<1
同理可得fV(v)=1,0<v<1
综合可得:
f(u,v)={1,0,0<u<1,0<v<1其他
两种方法可以互为映证。
公式法要求比较严格:单调,可导,导数不为0,反函数存在。
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