c++动态规划——背包问题

问题基础：有N件物品和一个容量为C的背包。第i件物品的体积是W[i]，价值是V[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。


怎样才能得到放入书包物品的的最大价值呢？

解决方法——【动态规划】

运筹学的分支，纠结决策过程最优化的数学方法

把多阶段问题分解为相互联系单一阶段小问题求解，上一阶段的决策可以对下一阶段的决策产生影响

各个阶段的决策选择最优，从而使整个过程达到最优

令Vi、Wi 分别表示第i个物品的价值和体积，V(i,j)表示前i个物品能装入背包容量为j的背包的最大价值，有以下动态规划函数：



算法大概：即填写二维矩阵，行数为物品个数加1，列数为背包承重加1

例如，有5个物品，其重量分别是{2, 2, 6, 5, 4}，价值分别为{6, 3, 5, 4, 6}，背包的容量为10，求装入背包的物品和获得的最大价值。

第一阶段，只装入前1个物品，要求能够得到最大价值；

第二阶段，只装入前2个物品，要求能够得到最大价值；这个问题求解要在第一阶段最优解的基础上进行；

依此类推，直到第n个阶段。

最后，V(n,C)便是在容量为C的背包中装入n个物品时取得的最大价值。

每个阶段问题的求解都是基于前一个阶段的解是最优的基础上。



每次增加一个物品放入背包，如果可以放入，设该物品重量为w1，价值v1，得到其放入之后背包的总重量W，减去这个物品的重量w1，那么W-w1这个重量的列的最大价值加上v1如果大于该位置（该行该列）上一行的价值的值，就更新此处的value值，表明这个物品放入背包，不然就继承上一行的value值。

直接上代码：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<climits>
#include<cstring>
#include<stdlib.h>
#include <time.h>
#include<ctime>
#include <iomanip>
using namespace std;

void Add(int *m[],int weight[],int value[],int num,int content)//n代表物品的个数
{
int i,j;
for(j=0;j<=content;j++)//采用从底到顶的顺序来设置m[i][j]的值,首先放weight[num]
{
if(j<weight[num])//j小于weight[num],所对应的值设为0
{
m[num][j] = 0;
}
else//否则就为可以放置
{
m[num][j]=value[num];
}
}

for(i=num-1;i>=1;i--)//对剩下的num-1个物品进行放置
{
for(int j=0;j<=content;j++)
{
if(j<weight[i])//如果j<weight[i]则当前位置就不能放置，它等于上一个位置的值。
{
m[i][j]=m[i+1][j];
}
else//否则，就比较到底是放置之后的值大，还是不放置的值大，选择其中较大者。
{
m[i][j]=m[i+1][j]>m[i+1][j-weight[i]]+value[i]?m[i+1][j]:m[i+1][j-weight[i]]+value[i];
}
}
}
}
void putout(int *m[],int num,int content,int x[],int weight[])
{
int j=content,i;
for(i=1;i<=num-1;i++)
{
if(m[i][j] == m[i+1][j])
{
x[i]=0;//0表示不放进背包该物品
}
else
{
x[i]=1;//放进背包该物品
j=j-weight[i];
}
}
x[num]=m[i][j]?1:0;
}
int main()
{
while(true){
int times=100000,t;//运行总次数
double alltime=0;
int num,content; //物品的个数和背包容量
cout<<"输入物品个数:";
cin>>num;
cout<<"输入背包容量:";
cin>>content;
int *weight=new int[num+1];//物品的重量，其中0号位置不使用 。
int *value=new int[num+1];//物品对应的待加，0号位置置为空。
int i,j;
for(t=0;t<times;t++)
{
clock_t start,finish;
srand((int)time(NULL));//srand()函数产生一个以当前时间开始的随机种子.应该放在for等循环语句前面 不然要很长时间等待
for(i=1;i<=num;i++)
{
//weight[i]=rand()%(content/2);//生成0~content/2的整数
//value[i]=rand()%(content/2);
weight[i]=1 + content * rand() / (RAND_MAX + 1);//生成1~content的随机数
value[i]=1 + content * rand() / (RAND_MAX + 1);
}

weight[0]=0;
value[0]=0;
/*cout<<setw(5)<<"编号"<<setw(5)<<"重量"<<setw(5)<<"价值"<<endl;
for(i=1;i<=num;i++)
{
cout<<setw(3)<<i<<setw(5)<<weight[i]<<setw(5)<<value[i]<<endl;
}
cout<<endl;*/

int *x=new int[num+1];
int **m = new int*[num+1];
for(i=0;i<num+1;i++)
{
m[i]=new int[content+1];
}
for(i=0;i<num+1;i++)
{
for(j=0;j<content+1;j++)
{
m[i][j]=0;
}
}

start=clock();//开始时间
Add(m,weight,value,num,content);
putout(m,num,content,x,weight);
finish=clock();//结束时间
alltime=alltime+(double)(finish-start);//times次计算的时间总和

/*for(i=0;i<=num;i++)
{
for(j=0;j<=content;j++)
{
printf("%2d ",m[i][j]);
}
cout<<endl;
}
cout<<"放入背包的物品编号:\n";
for(i=1;i<=num;i++)
{
if(x[i]==1)
{
cout<<i<<" ";
}
}
cout<<endl;*/
}
cout<<times<<"组数据平均运行时间:"<<alltime/times<<"ms"<<endl;//times次运行的平均时间，结果更精确
cout<<"-----------------------------------"<<endl;
}
return 0;
}

代码中还包括运行时间的计算，随机数的生成。