HDOJ 5976 Detachment【2016大连现场】【数学好题】

题意很简单：将一个整数n分解成很多不相同整数的和，使得这些整数乘积尽可能大。其中n最大1e9

第一眼看到这个题：

好简单啊，都分解成3啊！（没看到不相同）

第二眼：

可以猜想几个结论：

A：首先不可能有1，不要当作废话，那么意味着从2开始分解是有可能的

B：分解成尽可能多的数。个数多，比数大要好

举个例子：5=2+3，但是5如果不分解，答案是5；但是分解之后，5=2+3，答案为2*3=6

由这两个看似有道理的情况，说明我们要从2开始，不断往上加，来构造n：即：2+3+4+5+……

可惜的是：没有这么幸福的事，因为不相同，所以会有重复

比如7：7=2+3+2，剩下的这个2，怎么办：分解成1+1，往2+3上面分配就好：7=3+4

比如8：8=2+3+3，剩下的这个3，怎么办：分解成1+2，往2+3上面分配就好：8=3+5

所以，按照这个方法，我们猜想得到：这个题是一个构造题

为了方便自己计算，也为了方便最后编程之后得到更快的检验，我们先手算把简单的数字都算出来：

1=1

2=2

3=3

4=4

5=2+3

6=2+3+1=2+4

7=2+3+2=3+4

8=2+3+3=2+3+1+2=3+5

9=2+3+4

10=2+3+4+1=2+3+5

11=2+3+4+2=2+3+4+1+1=2+4+5

12=2+3+4+3=2+3+4+1+1+1=3+4+5

13=2+3+4+4=2+3+4+1+1+2=3+4+6

14=2+3+4+5

15=2+3+4+5+1=2+3+4+6

可以看到：分解数的个数是非递减的

意思是：我们可以根据输入的n，求出构造n的数位的长度len是多少

考虑到1+2+……+len是有公式的，我们可以算几个得到len

得到len之后，我们需要知道在1到len中少了哪几个数，多了哪几个外面的数

发现了几个规律：

当数字刚好是：2+3+……（len+1）的时候，刚好答案是（len+1）！

如果不是上面那种情况：那么只有两种情况：

A：缺1个数，可能缺2，3，4，等某一个

B：缺2个数，必然缺2，而且另一个是len

所以，我们把这些在的值乘起来就好

但是，这个题时限卡得很死

所以要用数学办法预处理好阶乘和逆元来搞

当答案跟len有关的时候，我们直接使用len的阶乘值

当要删去某个值的时候，我们直接乘那个数的逆元就好

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define LL __int64
int t;
LL jiecheng[100050];
LL niyuan[100050];
LL x,mod=1e9+7;

LL qp(LL x,LL p){
if (p==1) return x;
LL res=1;
while(p){
if (p%2) res=(res*x)%mod;
p/=2;
x=x*x%mod;
}
return res;
}

int main(){
//freopen("input.txt","r",stdin);
jiecheng[1]=1;
for(int i=2;i<=100000;i++)
jiecheng[i]=(jiecheng[i-1]*i)%mod;
for(int i=2;i<=100000;i++)
niyuan[i]=qp(1LL*i,mod-2);
scanf("%d",&t);
for(int Case=1;Case<=t;Case++){
scanf("%I64d",&x);
LL len,sum;
if (x<=4){
printf("%I64d\n",x);
continue;
}
else if (x==5){
puts("6");
continue;
}
//printf("%I64d: ",x);
len=(long long)(sqrt(2.0*x));
while((1+len+1)*(1+len)>2*(1+x)) len--;
//printf("%I64d %I64d\n",x,len);
len++;
sum=(1+len)*len/2;
if (sum==x+1) printf("%I64d\n",jiecheng[len]);
else{
sum+=len;len++;
if (sum==x+1){
//printf("%I64d %I64d\n",jiecheng[len+1],2*(len));
printf("%I64d\n",((jiecheng[len+1]*niyuan[2]%mod)*niyuan[len]%mod));
}
else{
printf("%I64d\n",jiecheng[len]*niyuan[sum-x]%mod);
}
}
}
return 0;
}