机器学习（八）——在线学习、K-Means算法、混合高斯模型和EM算法

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贝叶斯统计和规则化（续）

p(θ|S)可由前面的公式得到。

假若我们要求期望值的话，那么套用求期望的公式即可：

E[y|x,S]=∫yyp(y|x,S)dy

由上可见，贝叶斯估计将θ视为随机变量，θ的值满足一定的分布，不是固定值，我们无法通过计算获得其值，只能在预测时计算积分。

上述贝叶斯估计方法，虽然公式合理优美，但后验概率p(θ|S)通常是很难计算的，因为它是θ上的高维积分函数。

观察p(θ|S)的公式，在分母P(S)一定的情况下，分子越大则值越大，也就是p(θ|S)的概率越大。

因此，可得如下算法：

θMAP=argmaxθ(∏i=1mp(y(i)|x(i),θ))p(θ)

这个算法叫做最大后验概率估计（maximum a posteriori）。

和ML相比，MAP算法只是在最后多了一项p(θ)。通常使用中，我们认为p(θ)符合θ∼N(0,τ2I)。

由于p(θ)实际上就是先验分布，它会对最后结果进行一定的修正。因此，实际上最大后验概率估计相对于最大似然估计来说，较容易克服过度拟合的问题。



参见：

http://www.cs.cornell.edu/courses/cs5540/2010sp/lectures/Lec9.Estimation-continued.pdf

在线学习

我们之前讨论的算法，都是给定一个训练集S，经训练之后，得到预测函数h，然后再在新的样本集上进行预测。这种方法被称为批量学习（batch learning）。

与之相对的，还有一种边学习边预测的在线学习（online learning）算法。其步骤如下：

1.i:=0。

2.输入x(i)，算法预测y(i)。

3.根据y(i)的真实值，修正算法模型。这一步也被称作更新过程（update procedure）

4.令i:=i+1，以处理下一个数据样本。

在线学习的优点：

1.算法在学习过程中，即可预测。

2.随着数据样本的增多，预测会更加准确，即具有自我完善的的能力。

下面以感知器（perceptron）算法为例，讨论一下在线学习的误差问题。

首先回忆一下感知器算法：

hθ(x)=g(θTx),y∈{1,−1}

g(z)={1,−1,z≥0z<0

对于训练样本(x,y)，其更新过程为：

θ:={θ,θ+yx,hθ(x)=yotherwise(1)

这里给出一个和感知器算法有关的定理：

对于给定的m个样本序列（注意“序列”二字，在线算法对于样本的顺序是敏感的）x(i)，如果所有的∥x(i)∥≤D，并且存在单位向量u，使得所有样本的y(i)(uTx(i))≥γ，则感知器算法在该序列上的预测错误个数最多为(D/γ)2。

这个定理是Henry David Block和Albert B. J. Novikoff于1962年提出的。

注：Henry David Block，1920～1978，美国数学家。

这个人的经历有点非典型。20岁本科毕业，由于专业是文学和心理学，结果找不到工作。只好回炉，又读了个土木工程的本科。

二战期间在Goodyear的飞机工厂（没错就是那个卖轮胎的Goodyear）担任测试工程师。在那里碰到一个当医生的英国妹子，搞定之。

1946年，他老婆在Iowa State University获得了一个职位，于是他也跟着搬了过去。估计是无所事事，他经常到大学里蹭课，然后就发现自己对数学很感兴趣。

于是继续读书，1949年拿到博士学位。经过几年助教生涯之后，最终成为康奈尔大学应用数学教授。

话说，根据缩写找人真是太痛苦了，很多资料都不是你要找的人，Block又是个大路货。我最后是在他的一位同事的论文中找到他的全名的。那篇论文发表于1985年，距离他去世已经7年，但他仍是作者之一，可见人缘不错。

Albert B. J. Novikoff，全名不详，只知道是纽约大学教授。从岁数来看应该已经退休了。

下面给出这个定理的证明过程：

由公式1可知，θ的值只有在发生预测错误的时候才会改变，因此我们可以使用θ(k)表示第k个错误。同时令θ1=0。

根据更新公式可得：

(θ(k+1))Tu=(θ(k))Tu+y(i)(x(i))Tu≥(θ(k))Tu+γ

所以：

(θ(2))Tu≥(θ(1))Tu+γ=γ

(θ(3))Tu≥(θ(2))Tu+γ≥2γ

由数学归纳法可得：

(θ(k+1))Tu≥kγ(2)

另外，

∥θ(k+1)∥2=∥θ(k)+y(i)x(i)∥2=∥θ(k)∥2+∥y(i)x(i)∥2+2y(i)(x(i))Tθ(k)

由感知器算法的定义可得:

y(i)(x(i))Tθ(k)≤0

所以：

∥θ(k+1)∥2≤∥θ(k)∥2+∥x(i)∥2≤∥θ(k)∥2+D2

同样，由数学归纳法可得：

∥θ(k+1)∥2≤kD2(3)

因为：

(θ(k+1))Tu=∥θ(k+1)∥⋅∥u∥⋅cosϕ≤∥θ(k+1)∥⋅∥u∥=∥θ(k+1)∥(4)

由公式2、3、4可得：

k√D≥∥θ(k+1)∥≥(θ(k+1))Tu≥kγ

所以：

k≤(D/γ)2

K-Means算法

聚类算法属于无监督学习算法的一种。它的训练样本中只有x(i)，而没有y(i)。聚类的目的是找到每个样本x潜在的类别y，并将同类别y的样本x放在一起，形成一个聚类（clusters）。样本x(i)所属的聚类用c(i)表示。

K-Means算法的步骤如下:

1.随机选取k个聚类质心点（cluster centroids）μ1,…,μk

2.重复下面过程直到收敛 {

对于每一个样例i，计算其应该属于的聚类：c(i):=argminj∥x(i)−μj∥2

对于每一个聚类j，重新计算该聚类的质心：μj:=∑mi=11{c(i)=j}x(i)∑mi=11{c(i)=j}。

}

其中，k是我们事先定义的聚类个数。下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。



K-means算法面对的第一个问题是如何保证收敛。前面的算法中强调结束条件就是收敛，可以证明的是K-means完全可以保证收敛性。下面我们定性的描述一下收敛性，我们定义畸变函数（distortion function）如下：

J(c,μ)=∑i=1m∥x(i)−μc(i)∥2

J函数表示每个样本点到其质心的距离平方和。K-means算法的目的是要将J调整到最小。假设当前J没有达到最小值，那么首先可以固定每个类的质心μj，调整每个样例的所属的类别c(i)来让J函数减小，同样，固定c(i)，调整每个类的质心μj，也可以使J减小。 这两个过程就是内循环中使J单调递减的过程。当J递减到最小时，μ和c也同时收敛。（在理论上，可以有多组不同的μ和c值，能够使得J取得最小值，但这种现象实际上很少见。）

由于畸变函数J是非凸函数，意味着我们不能保证算法取得的最小值是全局最小值，也就是说k-means对质心初始位置的选取比较敏感。但一般情况下k-means达到的局部最优已经满足需求。但如果你怕陷入局部最优，那么可以选取不同的初始值跑多遍k-means，然后取其中最小的J对应的μ和c输出。

参考：

http://www.csdn.net/article/2012-07-03/2807073-k-means

http://www.cnblogs.com/leoo2sk/archive/2010/09/20/k-means.html

http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/06/2006910.html

高斯混合模型和EM算法

本篇讨论使用期望最大化算法（Expectation-Maximization）进行密度估计（density estimation）。

从上面的讨论可以形象的看出，聚类问题实际就是在数据集上，找出一个个数据密度较高的“圆圈”。我们可以反过来思考这个问题：如果我们已知圆圈的圆心和半径，那么也可以根据圆心、半径以及样本分布模型，来随机生成这些数据。显然，这和前一种做法在效果上是等效的。

首先我们假设样本数据满足联合概率分布

p(x(i),z(i))=p(x(i)|z(i))p(z(i))(5)

其中，z(i)∼Multinomial(ϕ)（这里的ϕj=p(z(i)=j)，因此ϕj≥0,∑kj=1ϕj=1），z(i)的值为k个聚类之一。

假定x(i)|z(i)=j∼N(μj,Σj)，则该模型被称为高斯混合模型（mixture of Gaussians model）。

整个模型简单描述为对于每个样例x(i)，我们先从k个类别中按多项分布抽取一个z(i)，然后根据z(i)所对应的k个多值高斯分布中的一个生成样例x(i)。注意的是这里的z(i)是隐含的随机变量（latent random variables）。



因此，由全概率公式可得：

p(x(i);ϕ,μ,Σ)=∑z(i)=1kp(x(i)|z(i);μ,Σ)p(z(i);ϕ)(6)

该模型的对数化似然函数为：

ℓ(ϕ,μ,Σ)=∑i=1mlogp(x(i);ϕ,μ,Σ)=∑i=1mlog∑z(i)=1kp(x(i)|z(i);μ,Σ)p(z(i);ϕ)

这个式子的最大值不能通过求导数为0的方法解决的，因为它不是close form。（多项分布的概率密度函数包含阶乘运算，不满足close form的定义。）

为了简化问题，我们假设已经知道每个样例的z(i)值。这实际上就转化成《机器学习（二）》所提到的GDA模型。和之前模型的区别在于，z(i)是多项分布，而且每个聚类的Σ都不相同，但结论是类似的。

这里的直接推导非常复杂，可参考以下文章：

http://www.cse.psu.edu/~rtc12/CSE586/lectures/EMLectureFeb3.pdf

上面这篇文章比较直观，比Andrew讲义的Problem Set详细的多。然而Andrew这样写是有原因的，在后面的章节，借助Jensen不等式，Andrew给出一个更简单且一般化的推导过程。

接下来的问题就是：z(i)的值我们是不知道的，该怎么办呢？

EM算法的思路是：

1.猜测z(i)的值。（这一步即所谓的Expectation，简称E-Step。）

2.最大化计算，以更新模型的参数。（这一步即所谓的Maximization，简称M-Step。）

具体到这里就是：

Repeat until convergence {

(E-step) For each i, j：

w(i)j:=p(z(i)=j|x(i);ϕ,μ,Σ)

(M-step) Update the parameters：

ϕj:=1m∑mi=1w(i)j

μj:=∑mi=1w(i)jx(i)∑mi=1w(i)j

Σj:=∑mi=1w(i)j(x(i)−μj)(x(i)−μj)T∑mi=1w(i)j

}