剑指Offer(面试题43~45)
2016-11-06 20:37
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面试题43:n个骰子的点数
题目:把n个骰子仍在地上,所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n,打印出s的所有可能的值出现的概念。
解法一:基于递归求骰子点数,时间效率不够高
要想求出n个骰子的点数和,可以先把n个骰子分成两堆:第一堆只有一个,另一堆有n-1个。单独的那一个有可能从1到6的点数。我们需要计算从1到6的每一种和剩下的n-1个骰子来计算点数和。接下来把剩下的n-1个骰子还是分成两堆,第一堆只有一个,第二堆有n-2个。我们把上一轮那个单独骰子的点数和这一轮骰子的点数相加,再和剩下的n-2个骰子来计算点数和。分析到这里,不难发现这是一种递归的思想,递归结束条件就是最后只剩下一个骰子。
上述思路很简洁,实现起来很容易。但由于是基于递归的实现,它有很多计算是重复的,从而导致当number变大时性能慢得让人不能接受。
解法二:基于循环求骰子点数,时间性能好
我们可以考虑用两个数组来存储骰子点数的每一个总数出现的次数。在一次循环中,第一个数组中的第n个数字表示骰子和为n出现的次数。在下一循环中,我们加上一个新的骰子,此时和为n的骰子出现的次数应该等于上一次循环中骰子点数和为n-1、n-2、n-3、n-4、n-5与n-6的次数的总和,所以我们把另一个数组的第n个数字设为前一个数组对应的第n-1、n-2、n-3、n-4、n-5与n-6之和。其代码如下:
面试题45:圆圈中最后剩下的数字
题目:0,1,…,n-1这n个数字排成一个圆圈,从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。
经典的解法,用环形链表模拟圆圈
上述代码的运行中,我们会发现实际上需要在环形链表里重复遍历很多遍。重复的遍历当然对时间效率有负面的影响。这种方法没删除一个数字需要m步运算,总共有n个数字,因此总的时间复杂度是O(mn)。同时还需要一个辅助链表来模拟圆圈,其空间复杂度是O(n)。
创新的解法:
参考资料《剑指Offer》
题目:把n个骰子仍在地上,所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n,打印出s的所有可能的值出现的概念。
解法一:基于递归求骰子点数,时间效率不够高
要想求出n个骰子的点数和,可以先把n个骰子分成两堆:第一堆只有一个,另一堆有n-1个。单独的那一个有可能从1到6的点数。我们需要计算从1到6的每一种和剩下的n-1个骰子来计算点数和。接下来把剩下的n-1个骰子还是分成两堆,第一堆只有一个,第二堆有n-2个。我们把上一轮那个单独骰子的点数和这一轮骰子的点数相加,再和剩下的n-2个骰子来计算点数和。分析到这里,不难发现这是一种递归的思想,递归结束条件就是最后只剩下一个骰子。
int g_maxValue = 6; void PrintProbability(int number) { if(number < 1) return; int maxSum = number*g_maxValue; int* pProbabilities = new int[masSum -number +1]; for(int i = number;i <= maxSum; ++i) pProbabilities[i-number] = 0; Probability(number,pProbabilities); int total = pow((double)g_maxValue,number); for(int i = number;i <= maxSum;++ i) { double ratio =(double)pProbabilities[i - number] / total; printf("%d:%e\n",i,ratio); } delete[] pProbabilities; } void Probability(int number,int* pProbabilities) { for(int i = 1;i <= g_maxValue; ++i) Probability(number,number,i,pProbabilities); } void Probability(int original,int current,int sum,int* pProbabilities) { if(current == 1) { pProbabilities[sum - original]++; } else { for(int i = 1;i <= g_maxValue; ++i) { Probability(original,current - 1,i + sum,pProbabilities); } } }
上述思路很简洁,实现起来很容易。但由于是基于递归的实现,它有很多计算是重复的,从而导致当number变大时性能慢得让人不能接受。
解法二:基于循环求骰子点数,时间性能好
我们可以考虑用两个数组来存储骰子点数的每一个总数出现的次数。在一次循环中,第一个数组中的第n个数字表示骰子和为n出现的次数。在下一循环中,我们加上一个新的骰子,此时和为n的骰子出现的次数应该等于上一次循环中骰子点数和为n-1、n-2、n-3、n-4、n-5与n-6的次数的总和,所以我们把另一个数组的第n个数字设为前一个数组对应的第n-1、n-2、n-3、n-4、n-5与n-6之和。其代码如下:
int g_maxValue = 6; void PrintProbability(int number) { if(number < 1) return; int* pProbabilities[2]; pProbabilities[0] = new int[g_maxValue*number +1]; pProbabilities[1] = new int[g_maxValue*number +1]; for(int i = 0;i < g_maxValue * number + 1;++i) { pProbabilities[0][i] = 0; pProbabilities[1][i] = 0; } int flag = 0; for(int i = 1;i <= g_maxValue; ++i) pProbabilities[flag][i] = 1; for(int k = 2;k <= number; ++k) { for(int i = 0;i<k;++i) pProbabilities[1-flag][i] = 0; for(int i=k; i<= g_maxValue*k; ++i) { pProbabilities[1-flag][i] = 0; for(int j=1;j<=i && j<=g_maxValue;++j) pProbabilities[1-flag][i]+=pProbabilities[flag][i-j]; } flag = 1-flag; } double total = pow((double)g_maxValue,number); for(int i = number;i <= g_maxValue*number; ++i) { double ratio =(double)pProbabilities[flag][i] / total; printf("%d: %e\n",i,ratio); } delete[] pProbabilities[0]; delete[] pProbabilities[1]; }
面试题45:圆圈中最后剩下的数字
题目:0,1,…,n-1这n个数字排成一个圆圈,从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。
经典的解法,用环形链表模拟圆圈
int LastRemaining(unsigned int n,unsigned int m) { if(n < 1 || m < 1) return -1; unsigned int i = 0; list<int> numbers; for(i = 0;i < n;++i) numbers.push_back(i); list<int>::iterator current = numbers.begin(); while(numbers.size() > 1) { for(int i =1;i<m;++i) { current++; if(current == numbers.end()) current = numbers.begin(); } list<int>::iterator next = ++current; if(next == numbers.end()) next = numbers.begin(); --current; numbers.erase(current); current = next; } return *(current); }
上述代码的运行中,我们会发现实际上需要在环形链表里重复遍历很多遍。重复的遍历当然对时间效率有负面的影响。这种方法没删除一个数字需要m步运算,总共有n个数字,因此总的时间复杂度是O(mn)。同时还需要一个辅助链表来模拟圆圈,其空间复杂度是O(n)。
创新的解法:
int LastRemaining(unsigned int n,unsigned int m) { if(n < 1 || m < 1) return -1; int last = 0; for(int i=2;i <= n;i ++) last =(last +m) %i; return last; }
参考资料《剑指Offer》
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