[bzoj 1879] [Sdoi2009]Bill的挑战:状压DP,自创数学公式(?)
2016-11-06 20:06
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题意:给N个(1<=N<=15)含小写字母、
把它想简单一点就是一道状压DP。
网上看到的解法:设
看到“恰好”,我的想法是用能匹配K个串的数目减去能匹配(K+1)个串的数目,定义
我想用容斥原理,然后走上了推导数学公式(手动打表找规律)的不归路,方法是用容斥原理暴力地展开,用对称性简化计算。
现在,我们问题是:用交集的元素数目表示在n个集合中出现k次的元素数目/恰在n个集合出现k次的元素数目。
前者没有发现明显的规律,计算后者各个项的系数时出现了正整数、三角形数的前几项。画出Pascal三角形,归纳出以下公式:
|⋃1≤j1<j2<⋯<ji≤nAj1∩Aj2∩⋯∩Ajk|=∑i=kn(−1)i−kCki∑1≤j1<j2<⋯<ji≤n|Aj1∩Aj2∩⋯∩Aji|
然后莫名地AC了……
时间复杂度O(L2n)。
先留个坑,有空来证。
?的长度不超过50的等长字符串,求有多少个含小写字母的字符串和恰好K个串匹配。
?可匹配任意字符。
把它想简单一点就是一道状压DP。
网上看到的解法:设
f[i][j]为恰好和集合j中字符串匹配的字符串数目,从
f[i-1][j]转移即可。直接跑时间复杂度是O(L2n|Σ|n),用O(L|Σ|n)时间预处理每个位置每个字符能匹配哪些字符串,DP的时间可优化为O(L2n|Σ|)。其实不太明白为什么要状压,预处理之后暴搜应该就可以,而且理论上时间更优 QAQ
看到“恰好”,我的想法是用能匹配K个串的数目减去能匹配(K+1)个串的数目,定义
f[i][j]为和集合j中字符串匹配的字符串数目。因为没想到预处理……
我想用容斥原理,然后走上了推导数学公式(手动打表找规律)的不归路,方法是用容斥原理暴力地展开,用对称性简化计算。
现在,我们问题是:用交集的元素数目表示在n个集合中出现k次的元素数目/恰在n个集合出现k次的元素数目。
前者没有发现明显的规律,计算后者各个项的系数时出现了正整数、三角形数的前几项。画出Pascal三角形,归纳出以下公式:
|⋃1≤j1<j2<⋯<ji≤nAj1∩Aj2∩⋯∩Ajk|=∑i=kn(−1)i−kCki∑1≤j1<j2<⋯<ji≤n|Aj1∩Aj2∩⋯∩Aji|
然后莫名地AC了……
时间复杂度O(L2n)。
先留个坑,有空来证。
#include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; typedef long long ll; const int MAX_N = 15, MAX_L = 50, M = 1000003; char s[MAX_N][MAX_L+2], g[MAX_L+1][1<<MAX_N]; int N, K, f[MAX_L+1][1<<MAX_N], C[MAX_N+1][MAX_N+1], t[MAX_N+1]; template<typename T> inline int count(T x) { const static int c[] = {0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4}; int ans = 0; for (int i = 0; i < sizeof(T)*2; ++i, x >>= 4) ans += c[x & 0xf]; return ans; } inline int log2(int x) { int r = 0; const static int mask[] = {0xff00, 0xf0, 0xc, 0x2}; for (int i = 0, a = 8; i < 4; ++i, a >>= 1) if (x & mask[i]) { r += a; x >>= a; } return r; } int solve() { int l = strlen(s[0]+1); for (int i = 1; i <= l; ++i) for (int j = 1; j < (1<<N); ++j) { int b = j & -j, x = j ^ b, k = log2(b); if (!g[i][x]) { f[i][j] = g[i][j] = 0; continue; } char c = s[k][i]; if (g[i][x] == '?') g[i][j] = c; else if (c == '?') g[i][j] = g[i][x]; else if (g[i][x] != c) { f[i][j] = g[i][j] = 0; continue; } else g[i][j] = c; if (g[i][j] == '?') f[i][j] = f[i-1][j]*26%M; else f[i][j] = f[i-1][j]; } memset(t, 0, sizeof(t)); for (int i = 1; i < (1<<N); ++i) t[count(i)] += f[l][i]; int r = 0; for (int i = K, sgn = 1; i <= N; ++i, sgn *= -1) (r += (ll) sgn * C[i][K] * t[i] % M + M) %= M; return r; } int main() { for (int i = 0; i < (1<<MAX_N); ++i) f[0][i] = 1; for (int i = 1; i <= MAX_L; ++i) g[i][0] = '?'; for (int i = 1; i <= MAX_N; ++i) { C[i][0] = C[i][i] = 1; for (int j = 1; j < i; ++j) C[i][j] = (C[i-1][j-1] + C[i-1][j]) % M; } int T; scanf("%d", &T); while (T--) { scanf("%d %d", &N, &K); for (int i = 0; i < N; ++i) scanf("%s", s[i]+1); printf("%d\n", solve()); } return 0; }
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