各类背包问题小结

背包问题可以说是动态规划问题的代表了，几乎一说到动态规划，背包问题便是一个不能不说的问题。

先从简单的0-1背包问题说起。问题描述非常简单：

有一个体积为V的背包，你有N件物品，每件物品的体积和价值分别为v[i], val[i]。请问怎么选择物品能使背包价值最大。

很显然，用暴力的方法，即一件物品分选和不选两种情况来讨论，那么这个问题的复杂度就相当高了。所以我们必须寻找更优化的方法。

F(i,j) = max{F(i-1, j), F(i-1, j-v[i])}, j-v[i]>=0//是否选择这个物品的比较

F(i,j) = F(i-1, j), j-v[i]<0

（i=1->N; j=1->V）

显然，F(i,j)记录了当有i件物品，j体积时的最好情况。一步步动态规划求得最佳解。

但我们进一步思考，可以发现其实可以在空间上做一定优化。

F(j) = max( F[j], F[j-v[i]]+val[i] ) ,
j-v[i]>=0

（i=1->N; j=V->1）

这里有一个细节，就是j要从V->1，因为每件物品只有一件，这么循环才不会重复计算。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;

#define MAX_V 10000 //定义最大体积

int V,N;
int v[100],val[100];
int dp1[100+1][MAX_V+1],dp2[MAX_V+1];
int ans1,ans2;

//二维数组解决
void DP1()
{
for(int i=1;i<=N;i++)
{
for(int j=1;j<=V;j++)
{
if(j>=v[i])
{
dp1[i][j] = max(dp1[i-1][j], dp1[i-1][j-v[i]]+val[i]);
}
else
{
dp1[i][j] = dp1[i-1][j];
}
}
}
/*Debug
for(int i=0;i<=N;i++)
{
for(int j=0;j<=V;j++)
{
cout<<dp1[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
*/
ans1 = dp1
[V];
}
//一维数组优化
void DP2()
{
for(int i=1;i<=N;i++)
{
for(int j=V;j>=1;j--)
{
if(j-v[i]>=0)
dp2[j] = max(dp2[j],dp2[j-v[i]] + val[i]);
}
}
/*Debug
for(int j=0;j<=V;j++)
{
cout<<dp2[j]<<" ";
}
*/
cout<<endl;
ans2 = dp2[V];
}

int main()
{
while(true)
{
memset(dp1,0,sizeof(dp1));
memset(dp2,0,sizeof(dp2));

cout<<"请输入背包体积："<<endl;
cin>>V;
cout<<"请输入物品数量："<<endl;
cin>>N;
cout<<"请输入各物品体积和价值："<<endl;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
cin>>v[i]>>val[i];
}

DP1();
cout<<"第一种方法答案："<<endl;
cout<<ans1<<endl;
DP2();
cout<<"第二种方法答案："<<endl;
cout<<ans2<<endl;
cout<<endl;
}
return 0;
}
/*
5
4
2 12
1 10
3 20
2 15
*/

除了0-1背包，还有一个很典型的背包问题叫做完全背包。即不限制每件物品的数量。

一个比较容易想到的解法是转换为0-1背包问题，规定每件物品的数量为V/v[i]件，解法同0-1背包，总的复杂度为O(NV*Σ(V/c[i])) 。

但这个办法并不美好，有时数据会使这个算法很尴尬。

有一个好办法就是：

F(j) = max( F[j], F[j-v[i]]+val[i] ) , j-v[i]>=0

（i=1->N; j=1->N）

这个递推式和0-1背包空间优化后的非常相似，就是j是正着循环的。非常神奇吧，因为0-1背包要避免一件物品被重复放，而完全背包正好相反，它需要一件物品被重复放。

有了这个结论，那么完全背包问题也就迎刃而解了。